28 janvier 2010

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  • Bravo et merci !

    le 29 janvier 2010 à 00:58, par Marie.Farge

    Tu as fait un excellent travail, à la fois de historique et pédagogique, qui servira d’exemple pour les articles suivants, j’espere. J’aime beaucoup ta façon de raconter ainsi les mathématiques au grand public de façon vivante, agréable à lire et en rapport avec les recherches actuelles, en faisant l’effort de tout redéfinir, comme si tu t’adressais à un(e) adolescent(e) intéressé(e) sans culture particulière des mathématiques.

    Tu vas certainement éveiller des vocations parmi les jeunes.

    Merci et bravo !

    Marie Farge

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  • Autour des équations de Navier-Stokes

    le 31 janvier 2010 à 09:42, par barbaresco

    Un des grands défis de la compréhension des équations de Navier réside dans l’étude et la modélisation des tourbillons des sillages des avions de ligne.
    L’Histoire de l’étude des turbulences de sillage remonte aux premiers travaux de Léonard de Vinci qui fut le premier à analyser la formation de tourbillons dans l’eau ou l’air et les écoulements autour d’un obstacle. C’est lui qui donna le nom actuel de « turbulence » à ces phénomènes.
    Il faudra attendre ensuite 1941 et les travaux du mathématicien russe Kolmogorov qui permirent de passer d’une analyse globale des turbulences à une analyse individuelle de chaque tourbillon en terme de taille et d’énergie. Il explique ainsi comment un tourbillon de grande taille se scinde en de plus petits éléments qui se divisent à leur tour en « cascade turbulente » dont il analysa l’évolution des vitesses. Landau, Kolmogorov, Arnold et l’école des mécaniciens russes développèrent ainsi la théorie ergodique et la théorie statistique de la turbulence homogène et isotrope.

    En parallèle, un jeune mathématicien français, Jean Leray (1906-1998), originaire de Nantes, travaillait sur la turbulence de sillage. Sa thèse portait sur la mécanique des fluides. Jean Leray était fasciné par ce spectacle qu’il avait dû observé longuement le long des berges de la Loire ou de la Sèvre nantaise. Il écrivit lorsqu’il poursuivit ses études à Paris à l’École Normale Supérieure, ayant changé de fleuve : « Observons la Seine en crue, contournant une pile de pont : son écoulement paraît régulier, puis, dans un domaine de plus en plus petit, il s’accélère de plus en plus, alors un choc local dissipe localement une large part de l’énergie en jeu et rétablit le calme ; puis le phénomène se répète ». Il publia ensuite un article qui allait faire avancer de façon profonde la compréhension des équations de Navier et les phénomènes d’écoulement d’un fluide et de tourbillons de sillages. Cet article parut en 1934 dans la revue Acta Mathematica sous le titre « Sur le mouvement d’un fluide visqueux remplissant l’espace ». Leray y montre que les équations de Navier dans l’espace à 3 dimensions ont toujours une solution faible avec des propriétés de croissance appropriées, l’unicité des solutions faibles des équations de Navier n’étant pas connue (pour l’équation Euler, l’unicité de solutions faibles est de façon saisissante fausse). Il s’agissait de la première avancée très significative, permettant de donner un cadre conceptuel renouvelé. Jean Leray publia d’autres articles sur les turbulences de sillage comme « Les problèmes de représentation conforme d’Helmholtz ; théories des sillages et des proues » en Juillet 1935. Malgré les conseils de prudence qui lui sont prodigués par Henri Lebesgue « Ne consacrez pas trop de temps à une question aussi rebelle. Faite autre chose », Jean Leray persévéra et il écrivit à ce propos quelques années plus tard : « Dans des cas généraux et importants, j’ai réussi, grâce à la notion d’ensemble compact, à déduire des seules majorations a priori l’existence, indépendamment de toute hypothèse d’unicité ; j’ai pu ainsi développer une analyse de la théorie des liquides visqueux qui n’avaient été qu’amorcée par l’école de M. Oseen, effectuer une discussion de la théorie des sillages et des jets dont Levi-Civita et H. Vallat avaient signalé les difficultés et l’intérêt, enfin donner des conclusions complètes à la célèbre discussion du problème de Dirichlet qu’avait faite M. Bernstein ». Ainsi, Leray nous montre que le mouvement devient turbulent au moment où la solution régulière laisse place à une solution faible qui peut avoir du tourbillon (vorticité) ω = rot u infini en certains points. Il est impressionnant aujourd’hui de constater que le nom de Jean Leray reste inconnu du plus grand nombre alors qu’il a été Professeur au Collège de France de 1947 à 1978, membre de l’Académie des Sciences ainsi que de 12 académies étrangères et qu’il a obtenu les prestigieux prix Wolff en 1979 et prix Lomonossov en 1988. Jean Leray est sans conteste l’un des plus grands mathématiciens du 20ème siècle dont les travaux majeurs ont marqués, la dynamique des fluides et les équations aux dérivées partielles, les fonctions de plusieurs variables complexes et la topologie algébrique (avec la création de la théorie des faisceaux). Fait prisonnier en 1940 et interné dans un camp (où il créé une université de captivité pour les jeunes prisonniers), Jean Leray, afin d’être absolument certain que ses recherches ne puissent pas bénéficier à l’effort de guerre allemand, délaisse la mécanique des fluides pour se consacrer à la topologie algébrique. En 1993, Jean Leray évoqua encore ce problème pour parler du sujet qui nous intéresse dans cet article : « Les premiers avions eurent des ailes minces, provoquant de regrettables remous. Des années de pénibles essais furent nécessaires à l’intelligence humaine pour découvrir ce que mémorisent les gènes des volatiles : l’intérêt aérodynamique des ailes épaisses ; à l’avant un bord arrondi, à l’arrière un bord effilé. ».
    Malgré ces avancées successives, la turbulence garde encore aujourd’hui une grande partie de son mystère. La question « la solution cesse-t-elle vraiment d’être régulière au bout d’un temps fini ? » est l’objet du prix Clay en mathématique : « Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theory which will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations. » (Millenium Problems, Clay Mathematics Institut).

    L’étude des turbulences de sillage a été relancée à la fin des années 60 par les russes, lorsque Yuri Gagarin décéda accidentellement en perdant le contrôle de son aéronef qui s’écrasa après avoir été déstabilisé par des turbulences de sillage. En 1968, Belotserkovsky, son professeur de mécanique des fluides, a été chargé par l’état soviétique de l’enquête sur la mort de Gagarin. Sergei Belotserkovsky, prit ensuite la tête d’un programme de recherche ambitieux qui permit de mettre au point le premier modèle numérique de modélisation et de prédiction d’évolution des turbulences de sillage. Sergei Belotserkovsky, natif de la ville antique de Livny dans la région Orel de la Russie, a soutenu sa thèse de doctorat en 1955, après laquelle il entra à l’Académie de l’Armée de l’air et à l’Institut central d’Aéro/hydrodynamique. C’est à cette époque, que la formation scientifique des premiers cosmonautes dirigés par Yuri Gagarin a occupé une place importante dans son travail. L’architecte spatial Korolev prévoyait un avenir scientifique brillant pour Gagarin et Belotserkovsky participait intensivement à sa formation scientifique avant sa mort tragique qui en a empêché l’accomplissement. Une dette d’honneur a incité alors l’enseignant à œuvrer à une nouvelle mission : garder pour l’histoire l’image brillante du premier cosmonaute. Le professeur Belotserkovsky repris alors intensément les travaux qu’il avait commencé à construire dans les années 40 sur la description des turbulences de sillage. En 1959 il a publié un ouvrage de référence « Atlas of Unsteady Characteristics for Wings with Various Planeforms”. Le professeur Belotserkovsky a fondé le Centre Scientifique-industriel SABIGO conjointement avec ses élèves et est devenu son Président. On lui a attribué le Prix de Zhukovsky en 1967, le Prix d’état de l’URSS en 1975 et de nouveau en 1981 et le Prix du Conseil des ministres de l’URSS, aussi en 1981. En 1995 il a reçu le titre de Scientifique d’Honneur de la Russie. Son fils Andrei anime toujours la communauté « turbulence de sillage » en Russie et participe régulièrement aux travaux des réseaux Wakenet-Europe et Wakenet-USA.

    Les études dans les pays occidentaux ont été intenses dans les années 70 aux USA avec l’arrivé du Boeing 747. Des distances de sécurité entre avions, considérées de nos jours comme très (« trop ») conservatives, ont été définies à cette époque et sont toujours recommandées par l’OACI. Dans les années 1993 à 2000, « Transport Canada » a lancé un programme d’étude et de modélisation des turbulences de sillage. Les objectifs du Projet étaient d’augmenter la capacité d’aéroports majeurs, en maintenant ou améliorant les niveaux existants de sécurité. Dans ce but, les canadiens ont travaillé sur l’évaluation et le développement d’un Système de Prévision de Tourbillon (VFS : Vortex Forecasting System). « Transport Canada » coopéra sur cette étude avec l’Université catholique de Louvain en Belgique et SABIGO Ltd de Moscou. Le modèle développé par les russes fut ainsi amélioré et recodé par le professeur Grégoire Winckelman, qui ramena l’expertise en Europe et donna sur cette base naissance au modèle européen actuel WAKE4D. Cette recherche a été étendue à d’autres organisations de recherche au Canada, aux États-Unis, aux Royaume-Uni, en France et en Allemagne. En particulier, « Transport Canada » a passé un accord aux États-Unis avec la NASA et le Centre de recherches de Langley (LaRC) pour conduire un certain nombre d’activités coopératives complémentaires. Cette coopération a donné naissance au modèle américain de la NASA, modèle APA, encore employé de nos jours. On voit que les travaux précurseur de Sergei Belotserkovsky, et le modèle VFS développé par SABIGO sont à l’origine de l’ensemble des outils actuellement utilisés dans le monde occidental.

    L’intérêt pour les turbulences de sillage a été relancé en ce début de siècle avec le développement du transport aérien dont toutes les études prévoient un développement considérable dans les 20 ans qui viennent. Doublement ou triplement du trafic en Europe, quintuplement en Asie, sous la poussée d’un nombre toujours plus grands de personnes (estimé à 1 milliard de passagers supplémentaires) accédant à un niveau de vie leur permettant d’utiliser les facilités du transport aérien pour le travail ou le tourisme, auquel s’ajoute le développement du fret aérien.

    En Europe, pour faire face à la demande nouvelle des compagnies aériennes, la compagnie AIRBUS a lancé le développement et la commercialisation d’une nouvelle famille d’avion de grosse capacité : A380. Comme nous le verrons par la suite, la force des turbulences de sillage d’un avion (mesurée en terme de circulation en m2/s), dépend du rapport entre sa masse sur le produit de son envergure par sa vitesse. L’Airbus A380 possédant sur la base de ces caractéristiques des turbulences de sillage plus intenses que la génération précédente des Boeing B747, il nécessitait une analyse spécifique pour déterminer ses nouveaux paramètres. Ainsi, l’A380 a été le premier avion a passé une « Wake Vortex Certification » et des études spécifiques menées en collaboration avec EUROCONTROL et la FAA. Quelques temps plus tard, la société Boeing a décidé le lancement de la version étendue (« strech ») du Boeing B747, qui porte le nom de B747-8. Comme pour l’A380, le Boeing B747-8 est entré dans une phase de « Wake Vortex Certification » pilotée par la FAA en coordination avec EUROCONTROL depuis 2008.

    Les résultats des études successives relatives aux turbulence de sillage de l’A380 ont guidé l’OACI pour l’application de nouvelles règles concernant les distances de sécurité à appliquer derrière le nouveau gros aéronef. Une nouvelle classe « Super-Heavy » a été créée qui rajoute plusieurs miles nautiques aux distances de sécurités « wake vortex » en plus de ceux habituellement appliqués pour la catégorie « Heavy » (Boeing B747 classique). Nous donnons dans la figure ci-dessous, les nouvelles règles OACI pour l’A380 et qui furent révisées en 2005, 2006 et 2008 suite aux essais en vol d’Airbus. Ces distances de sécurité sont données pour l’avion suiveur en fonction de la catégorie de l’avion qui précède (« small », « medium » & « heavy ») et la phase de vol (approche, départ ou en-route).

    Au niveau européen, de nombreuses études ont été menées dans le cadre du PCRD (Programme Cadre de Recherche et Développement) depuis une décennie. Nous attirons l’attention sur les trois plus récentes ATC-WAKE (http://www.wakenet3-europe.eu/index.php?id=37), FAR-WAKE (http://www.far-wake.org/) et CREDOS (http://www.eurocontrol.int/eec/credos/public/subsite_homepage/homepage.html). L’étude ATC-WAKE (Integrated Air Traffic Control WAKE vortex safety and capacity system) était pilotée par le NLR et avait pour objectif principal de développer et construire une plate-forme de simulation d’un système ATC de gestion des alertes de tourbillons de sillage. Thales Air Systems avait la charge de la définition de l’architecture du système. Cette plate-forme est utilisable pour évaluer l’interopérabilité avec des systèmes ATC existants, évaluer le gain en sécurité et les améliorations de capacité, évaluer la rentabilité opérationnelle et l’acceptabilité et faire un plan de mise en oeuvre technologique. Cette plate-forme est un pas essentiel qui peut mener à l’installation d’un système d’aide à la décision ATC intégré aux aéroports, permettant aux contrôleurs aériens d’appliquer de nouveaux temps optimisés d’espacement entre avions. L’étude FAR-Wake est un projet de recherche terminé en 2008 qui a visé à approfondir les connaissances actuelles. Parmi d’autres, les questionnements les plus importants concernent le rôle précis des instabilités de ces tourbillons sur l’affaiblissement du sillage lui-même, les effets du fuselage, des engins de propulsion, et enfin, du sol sur ces tourbillons. Les activités de recherche ont porté sur l’étude de tourbillons en conditions idéales pour accéder à une meilleure connaissance fondamentale des phénomènes physiques sous-jacents en jeu, en complétant les seules connaissances empiriques disponibles à ce jour. L’étude FAR-WAKE a développé des modèles théoriques avec les outils numériques associés pour caractériser et prédire le comportement de ces structures tourbillonnaires en conditions idéales et avec effets de bord. Grâce aux études numériques et expérimentales réalisées mais également en s’appuyant sur d’autres bases de données, des études paramétriques avec une description associée systématique des phénomènes tourbillonnaires ont été alors possibles. Enfin, l’étude CREDOS (Crosswind - Reduced Separations for Departure Operations) toujours en cours examine les possibilités de réduction conditionnelle sûre des distances minimums de séparation liées aux turbulences de sillage lors des départs en fonction de mesures senseurs de monitoring des turbulences de sillage et de mesures vents associées à des modèles de prédiction d’évolution.

    Plus récemment, en Avril 2008, le 7ème PCRD a lancé un réseau d’expertise appelé WAKENET3-EUROPE (http://www.wakenet3-europe.eu/), piloté par AIRBUS et pour lequel THALES AIR SYSTEMS est en charge de la tâche « Wake vortex sensors & advisory systems ». En janvier 2009, THALES AIR SYSTEMS a organisé le 1er Workshop international du réseau Wakenet-3 à Thales Université à Jouy-en-Josas sur le thème « Wake Turbulence Safety in Future Aircraft Operations » (http://www.wakenet3-europe.eu/index.php?id=63). Cet événement a rassemblé 120 participants : des européens, mais également des américains (FAA, NASA, BOEING, …) membres du réseau WAKENET-USA, des russes de WAKENET-RUSSIA, des japonais de JAXA et d’ENRI du programme DREAMS, des chinois du NUDT (qui ont effectué des essais de monitoring des turbulences de sillage avec un radar bande X, et développé des modèles de SER radar en couplant modèle de mécanique des fluides et modèle électromagnétique).

    L’europe vient de lancer la phase de développement du programme SESAR (Single European Sky Air Traffic Management Research, http://www.eurocontrol.int/sesar/public/subsite_homepage/homepage.html). Le programme SESAR, volet technique de la réalisation du ciel unique européen, a pour objectif de développer une nouvelle génération de systèmes de gestion du trafic aérien (ATM) capable de garantir la sécurité et la fluidité du transport aérien pour les 30 années à venir. Reposant sur des systèmes ouverts, SESAR sera compatible avec d’autres initiatives mondiales de même nature, telles que le projet NextGen (Next Generation Air Transportation System, http://www.jpdo.gov/ ) de modernisation du contrôle du trafic aérien aux Etats-Unis. Cette refonte se caractérisera entre autres par la généralisation de technologies nouvelles, la gestion dynamique de l’espace aérien, et le développement d’outils automatiques d’aide au contrôle aérien. Thales est, aux côtés de ses partenaires, l’un des initiateurs de ce projet paneuropéen, dans lequel il joue un rôle majeur par son soutien actif et son implication dans le lancement du programme, apportant toute son expertise technique dans le cadre de la phase de définition et dans la préparation des phases à venir. La phase de définition s’est achevée en mai 2008. La phase de développement (2009-2016) déterminera d’ici 2015 tous les éléments techniques qui donneront corps au futur système ATM européen : concepts opérationnels et procédures validées, normes, architectures détaillées, technologies, prototypes et essais en conditions réelles. L’organisation de la phase de déploiement qui débutera en 2015 reste à finaliser. Le nouveau système ATM, dont l’introduction aura lieu en 2020, devrait répondre aux impératifs suivants : une capacité multipliée par 3 et un niveau de sécurité multiplié par 10. Relativement à ces objectifs, la gestion des alertes et des séparations liées aux dangers des turbulences de sillage est au cœur de la problématique.

    1- Jean-Yves Chemin , « Jean Leray et les fondements mathématiques de la turbulence », Société Mathématique de France, coll. Un texte un mathématicien, 14 février 2007
    2- Jean-Yves Chemin , « Le système de Navier-Stokes incompressible, soixante dix-ans après Jean Leray » , Séminaires et Congrès, n°9, p. 99–123, Société Mathématique de France, 2004
    3- Yves Meyer, « Jean Leray et la recherche de la vérité », Journées anniversaire Jean Leray, Nantes

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    • Est-ce une question ?

      le 1er février 2010 à 22:39, par Ludmila

      Je ne comprends pas bien. Ce « message » est tellement long et compact qu’il est presque impossible de le lire.

      Mettre ça à la suite du beau travail fait par Mme Galaguer, c’est un peu étrange.

      Respectueusement

      Ludmila

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  • Autour des équations de Navier-Stokes

    le 31 janvier 2010 à 22:35, par lboullu

    Bonjour, pourriez vous indiquer la façon dont se lit, se prononce, le triangle et le triangle à l’envers ?
    Merci de votre réponse

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    • Autour des équations de Navier-Stokes

      le 1er février 2010 à 22:33, par Isabelle Gallagher

      Le triangle est la lettre grecque majuscule « Delta » et se prononce Laplacien, ou encore simplement Delta. Quant au triangle à l’envers (pointe en bas) il se prononce « nabla ». Une note en bas de page a été rajoutée à l’article avec un petit historique de cette notation.

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  • Autour des équations de Navier-Stokes

    le 20 octobre 2010 à 05:41, par Marc JAMBON

    C’est Lorentz physicien néerlandais qui est à l’origine de la relativité restreinte, les transformations de Lorentz qui décrivent les changements de référentiels portent encore sont nom et datent de 1902. Einstein a repris et développé cette théorie dans un article de 1905.

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  • Formule d’Euler

    le 14 décembre 2011 à 13:34, par Marc JAMBON

    Telle qu’elle est écrite votre formule d’Euler n’apparait pas comme homogène quand on compare les deux membres. C’est tout à fait facheux, cela provient du fait que vous supposez la densité de masse égale à un.
    Or la densité de masse est une grandeur physique qui ne peut être identifiée à un nombre entier élément de N. Non seulement, elle a une unité, mais, comme toute grandeur physique c’est une grandeur approchée : encadrement ou couple d’une valeur approchée et d’une incertitude strictement positive.
    En appelant, comme il est d’usage, ρ cette grandeur, qu’on on met en facteur au premier membre, on interprète alors bien votre formule comme vous le suggérez :
    masse d’un volume infiniement petit x accélération = force de pression agissant sur ce volume.

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