28 de agosto de 2020

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Août 2020, 4e défi

Défis du calendrier mathématique
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2020 est en vente ! Semaine 35 Une suite de nombres , , , , , est définie de la manière suivante : les deux premiers termes sont égaux à puis pour tout entier supérieur ou égal à , . Quel est le chiffre des unités de ? Solution du 3e défi d’août : Enoncé La réponse est : oui. Il est possible de le (...)
Le 28 de agosto de 2020, par Ana Rechtman - 6 commentaires

  • Août 2020, 4e défi

    le 28 de agosto de 2020 à 09:28, par jokemath

    Je propose 0

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    • Août 2020, 4e défi

      le 28 de agosto de 2020 à 09:35, par orion8

      et pas seulement pour $a_{2020}$...

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    • Août 2020, 4e défi

      le 28 de agosto de 2020 à 10:04, par Niak

      En effet, il n’est pas difficile de montrer que $a_n=n!$ (par récurrence, via le calcul $n((n-1)!+n!) = n(1+n)(n-1)!=(n+1)!$).

      Et $2020!$ se termine par $\sum_{i\geq1}\left\lfloor\frac{2020}{5^i}\right\rfloor=503$ zéros.

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  • Août 2020, 4e défi

    le 28 de agosto de 2020 à 11:31, par ROUX

    Je me propose d’aller jusqu’à n=6 pour voir si il n’est pas évident que ce sera un 0 (dans le genre on va avoir un 2*5...)
    a0=1
    a1=1
    a2=2
    a3=6
    a4=24
    Wow! Stop!
    Il semblerait que an=n! pour n>2.
    Faisons une récurrence.
    Bon, l’amorçage, on a.
    On suppose que c’est vrai jusqu’à n-1.
    Donc an=(n-1)*(an-1 + an-2) ou an=(n-1)*((n-1)!+(n-2)!) ou an=(n-1)*(n-2)!*((n-1)+1) ou an=an=(n-1)*(n-2)*(n) ou an=n*(n-1)*(n-2)! ou an=n!CQFD.
    2020<5 donc on a au moins 5!=120 donc le chiffre des unités de a2020 est 0.

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    • Août 2020, 4e défi

      le 28 de agosto de 2020 à 11:54, par Niak

      Ce qui est amusant, c’est que si vous étiez vraiment allé jusqu’à $6$, vous auriez trouvé $a_5=120$ et $a_6=720$, les deux premiers termes consécutifs à être divisibles par $10$. Mais comme $a_{n-1}+a_n$ divise $a_{n+1}$, alors $10$ divise aussi $a_7$, et, en répétant l’argument, tous les termes suivants.

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