$A, B, C, D$ sont les centres de cercles tangents deux à deux. Je nomme $E$ (resp. $F,G,H$) les points de contact de $(A)-(B)$ (resp. $(B)-(C), (C)-(D), (D)-(A)$).

Les tangentes en $E,F,G,H$ se coupent aux points $P,Q,R,S$, formant un quadrilatère tangentiel (circonscriptible).

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On remarquera tout d’abord la circonscribilité du quadrilatère $ABCD$ (les sommes des longueurs des côtés opposés sont les sommes des rayons des quatre cercles — même situation que pour la figure 6.8.1, où on montrait que $E,F,G,H$ sont cocycliques).

Le cercle inscrit dans le quadrilatère $ABCD$ a son centre au point de concours des bissectrices des sommets (point de concours qui existe, puisque il est circonscriptible !).

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La bissectrice en $B$ est la droite $(BS)$ : elle est donc bissectrice de l’angle $(SP,SR)$. Mêmes observations pour les bissectrices en $A, C, D$. Le centre du cercle inscrit dans $ABCD$ sera donc centre d’un cercle inscrit dans $PQRS$.

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Les quadrilatères circonscriptibles se multiplient par parthénogenèse.