Je prends un peu le problème depuis la fin. J’ai deux cubes avec les coins colorés dans des couleurs distinctes, est-ce que la coloration des cubes est identique (modulo des rotations) ?

Je choisis une couleur (qui me plait le plus, par exemple) et je l’appelle $couleur_1$, puis j’ordonne le reste $couleur_2$, $couleur_3$, .. $couleur_8$.
Je prends les cubes et je les places comme suit :
$*$ le sommet de $couleur_1$ en bas, vers moi, coin à gauche
$*$ par max deux rotations en gardant le sommet de $couleur_1$ sur la table, je place en bas vers moi l’arrête $(couleur_1, couleur_i)$ avec $couleur_i$ la plus petite parmi les 3 couleurs voisines du coin de $couleur_1$

Les deux cubes étant placés selon le même procédé je regarde si les couleurs sont identiques coin par coin pour les 7 autres coins.

Si je numérote maintenant les coins du cube comme dans la figure (ce qui m’importe est la numérotation des 4 premiers coins), je peux mieux compter les colorations possibles.

Je peux me dire que la coloration d’un cube est une permutation de \[\sigma : \{1,2, \ldots 8\} \rightarrow \{1,2, \ldots 8 \}\] avec $ \sigma(1) = 1$, $\sigma(2) < \sigma (3)$ et $\sigma(2) < \sigma (4)$.

Si j’ai les 4 valeurs de $\sigma(1), \ldots \sigma(4)$ fixées, il y $P_4 =4!$ permutations des autres couleurs.

Pour choisir $\sigma(2),\sigma (3),\sigma (4)$, j’ai $P_2 \times C_7^3$ possibilités : de chaque combinaison de 3 parmi 7 je prends le plus petit élément comme le premier et je place les deux autres au hasard.

Donc le nombre de colorations recherché est :
\[ P_2 \times C_7^3 \times P_4 = 2 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 = 1680\]

Numérotons les couleurs de $1$ à $8$. Soit $k$ la couleur du sommet opposé au sommet de couleur $1$. On peut partitionner l’ensemble des $8$ couleurs en $4$ classes :
$\left \{ 1 \right\}$
$\left \{ k \right\}$
$C_1$ = couleurs des $3$ sommets reliés au sommet de couleur $1$
$C_k$ = couleurs des $3$ sommets reliés au sommet de couleur $k$
Le nombre de façons de répartir les couleurs $2$ à $8$ dans les classes $\left \{ k \right\}, C_1, C_k$ est le coefficient trinomial $\dfrac{(1+3+3)!}{1!3!3!}=140$
Si on regarde le cube depuis le sommet de couleur $1$ dans la direction du sommet de couleur $k$, on voit les $6$ autres sommets sur un cycle alternant les sommets reliés à $1$ et les sommets reliés à $k$. Colorions un des sommets voisins de $1$ avec la plus petite couleur de $C_1$.
Il y a alors $2!$ façons d’affecter les $2$ autres couleurs de $C_1$ aux voisins de $1$, et $3!$ façons d’affecter les $3$ couleurs de $C_k$ aux voisins de $k$.
Il y a donc $2!3!=12$ façons de colorier les sommets du cycle.
Ce qui fait au total $140 \times 12 = 1680$ façons de colorier le cube.

Choisissons une couleur qui occupera toujours la même position. Il y a 3 rotations autour de la grande diagonale qui passe par son sommet qui le laisse invariant et 7 ! façons de disposer les 7 autres couleurs soit 7 ! /3 = 1680 cubes possibles.

Une troisième façon d’arriver au même resultat. Il y a 8 ! façons de placer les huits couleurs différentes sur les 8 sommets du cube. De mes cours de crystallographie je me souviens que parmi les 48 isométries du cube il y a 24 rotations. La solution est donc 8 !/24=1680.