J’aime beaucoup cet article.

J’en profite pour faire un peu de publicité à un livre où il est question des décimales de $\sqrt{2}$ mentionnées ici (et de son irrationalité), plutôt sur un mode littéraire (genre « exercices de style ») et parfois comique, ça s’appelle :

Rationnel mon Q (de Ludmila Duchene et Agnès Leblanc), et c’est paru chez Hermann

(il y est d’ailleurs aussi question de $\pi$ et de la Bible, si je me souviens bien).

J’avais cité un des poèmes l’année dernière dans un article précédent. J’en ai lu des bouts à la BNF au cours d’une lecture Oulipo il y a quelques semaines et ça a eu pas mal de succès.

Joli article !

J’ai quand même une remarque : je ne comprends pas bien cette fixation sur la valeur de $\pi$ dans la Bible. On y parle d’un récipient circulaire de 10 coudées de diamètre et 30 coudées de circonférence, certes - et ces valeurs sont absolument mathématiquement correctes ! Elles sont simplement données avec un seul chiffre significatif, ce qui vu le contexte est parfaitement raisonnable.

Est-ce qu’on critiquerait un atlas qui donnerait le diamètre et la circonférence de la Terre au kilomètre près en disant « hi hi hi les géomètres pensent que $\pi$ est rationnel » ?

Il y a bien des raisons de critiquer la Bible et son statut, mais le faire pour des raisons mathématiques (« donc » « définitives ») est pour le moins artificiel ...

Moi non plus, je ne comprends pas bien cette fixation... La Bible n’est pas un traité de mathématiques. Mais les faits sont là : il y a eu les critiques dont je parle et on trouve toujours sur le ouèbe des sites qui répondent à ces critiques.

On a dit que Galilée avait été condamné par l’Église parce que l’héliocentrisme contredisait la Bible. Je pense que ce n’était qu’un prétexte et que la hiérarchie catholique de l’époque savait bien qu’il ne fallait pas avoir une lecture fondamentaliste de la Bible. Nous disons tous, comme la Bible, que le Soleil se lève ou se couche alors que nous savons bien que c’est la Terre qui tourne...

FG

Je trouve cet article vraiment très intéressant parce qu’il est accessible même à des personnes qui, comme moi, n’ont pas pratiqué les maths à haut niveau et ont un peu oublié tout ce qu’ils ont appris il y a de cela une ou plusieurs décennie(s)...

Je suis persuadée que les enfants (ou adolescents ou adultes) seraient bien plus intéressés par les mathématiques si on les aidait à y entrer par ce type de réflexion.

Enfin, pour en revenir au contenu-même de l’article, je me pose une question : comment est-il possible, en 1609, de faire des calculs portant sur des polygones à plus de 500 milliards de côtés ? Ne doit-on pas travailler avec des valeurs approchées ? Si c’est le cas, on ne peut obtenir que des valeurs approchées des décimales de Pi, ce qui n’a aucun sens...

Franchement, j’ai du mal à concevoir les heures (jours ? semaines ? mois ?) de calcul que cela a demandé...

1. Réponse à Mariesg : Pour trouver beaucoup d’articles aussi accessibles il suffit de suivre la piste verte (en cliquant sur « piste verte » à côté du titre d’un article ou sur le lien que je viens de mettre) du site Images des Mathématiques. On peut, même si on n’a pas un Baccalauréat scientifique, se risquer sur la piste bleue !

2. Pour parler de la méthode d’Archimède je passe de la piste verte à la piste bleue : Si, à une étape donnée de la construction, le polygone inscrit a pour périmètre $p$ et le polygone circonscrit le périmètre $P$, alors le théorème de Pythagore permet de calculer les périmètres $q$ et $Q$ des polygones ayant un nombre double de côtés par les formules $Q = 2 p P / (p+P)$ et $q^2 = p Q$ (où $q^2$ est le carré de $q$). Comme on sait « pousser » la division et l’extraction d’une racine carrée à n’importe quelle précision, on peut maîtriser les erreurs d’approximation. Mais cela demande clairement un long travail !

3. Cette réponse est l’occasion de réparer un oubli coupable : J’aurais dû citer Karine Chemla dans mes remerciements car elle a corrigé mes fautes et erreurs historiques et j’ai puisé dans ses travaux mes connaissances sur Liu Hui et la figure comparant sa méthode à celle d’Archimède.

FG

Bonjour,

A propos de la dernière réponse : les formules données permettent de faire faire très facilement les calculs par un tableur, en initialisant avec 3 pour le demi-périmètre de l’hexagone inscrit et 2*racine(3) pour celui de l’hexagone circonscrit.

On voit la suite des demi-périmètres se rapprocher de pi. Mais ce qui est plus amusant, c’est de fabriquer (toujours avec le tableur) une nouvelle suite en prenant 4 fois le demi-périmètre du polygone inscrit, en retranchant le demi-périmètre du polygone inscrit de l’étape précédente et en divisant le tout par 3. Ce simple procédé donne une accélération très visible de la convergence vers pi. Cette amélioration du procédé d’Archimède est, je crois, due à Huygens (De Circuli Magnitudine Inventa, 1654).

Mes excuses pour une faute dans la note 5 : c’est l’aire des polygones circonscrits (et non celle des polygones inscrits) qui est égale au produit de leur demi-périmètre par le rayon du cercle.

FG

Il n’est pas si évident que cela de trouver un algorithme fini qui fournisse les décimales d’un nombre réel, donné par une suite de Cauchy de nombres rationnels, même de trouver sa partie entière ! Pour racine carrée de 2, de 3 ... c’est facile, de même pour des racines nièmes de nombres entiers. C’est encore possible mais nettement plus difficile pour le nombre e. Quant au nombre pi, je ne connais aucun algorithme sûr !

Bonjour,
Merci de cet article, très instructif.
L’objet de mon commentaire est une question : j’ai vu qu’on peut trouver sa date de naissance dans les décimales de pi. Mais je m’interroge : peut-on la trouver à coup sûr ? en d’autres termes, y a-t-il toutes les combinaisons possibles d’ordonner les chiffres des dates de naissance au format JJ/MM/AAAA dans les décimales de pi ?
Instinctivement, en tendant vers l’infini, je dirais que oui. Mais en même temps, si on tend vers l’infini, cela signifie qu’il n’y aura jamais toutes les possibilités, sinon, ce ne serait plus un « nombre infini ».
Par ailleurs, peut-on connaître la position de sa date de naissance ou faut-il chercher à l’oeil nu ?
Dernière question, comment calcule-t-on les décimales de pi ?
Merci de votre aide,
Bien cdt,
F.

Bonjour fluvial !

Pardon de répondre si tardivement à votre message.

1. Si les décimales de pi sont bien « au hasard » on peut y trouver à coup sûr sa date de naissance. Mais personne ne sait si les décimales de pi sont « au hasard », même si beaucoup de mathématiciens pensent que c’est le cas. Vous pouvez presque certainement trouver votre date de naissance et sa position dans les premières 200 millions de décimales de pi sur le site pour lequel j’ai mis un lien (en rouge : ce site) à la ligne 7 du paragraphe « Pourquoi ces calculs ? »

2. Les formules utilisées pour le calcul des décimales de pi ne sont pas en piste verte ! En général elles sont indiquées dans les annonces de record par leurs auteurs. Vous pouvez en trouver un certain nombre sur le site
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwg....

F. Gramain

Bonjour !
Merci beaucoup de votre réponse !
En fait, oui voilà, j’ai continué à réfléchir sur la première question. Si on part de l’hypothèse que les décimales de pi sont aléatoires, et que donc elles sortent selon lune loi uniforme, il y a une chance sur 10 d’avoir le chiffre qu’on cherche.. soit 1/10 * le nombre de chiffres qui compose une date de naissance = (1/10)^8 soit 1 chance sur 100 millions de trouver une date de naissance...
Pour agrandir le résultat, on peut dire que la probabilité de trouver un nombre composé de n chiffres est donc (1/10)^n.
Est-ce que ce résultat vous semble plausible ?
Merci pour le lien ! En effet, la formule semble compliquée...

Oui, votre calcul est bon : si les décimales de pi sont au hasard, quand on regarde la k-ième décimale on a 1 chance sur 10 que ce soit 7 ; si on regarde 8 décimales consécutives on a une probabilité de (1/10)^8 que ce soit sa date de naissance. Mais il se peut très bien que cette date de naissance n’apparaisse pas dans les N premières décimales ! Avez-vous trouvé la vôtre dans les 2 millions du site que j’indiquais ? La probabilité est beaucoup plus difficile à calculer et je crois que je suis incapable de le faire !

Bonjour, merci beaucoup de prendre le temps de me répondre. J’ai regardé, la date que je cherche n’y est pas. Je ne comprends pas pourquoi il est possible qu’elle n’apparaisse pas dans les N premières décimales ? je croyais pouvoir la trouver à coup sûr ? par ailleurs, pourquoi, la probabilité est plus difficile à calculer ?
merci beaucoup de votre aide en tout cas :)

Cher fluvial,

1. Si vous jouez à Pile ou Face avec une « bonne » pièce vous avez à chaque lancer de la pièce une probabilité de 1/2 de tomber sur Face. Sur N lancers vous avez donc une probabilité de (1/2)^N de ne jamais tomber sur Pile. Pour N très grand cette probabilité est infime, mais elle n’est pas nulle. De façon analogue la probabilité de ne pas trouver votre date de naissance parmi les N premières décimales de pi est infime si N est très grand (et si les décimales de pi sont « au hasard »), mais elle n’est pas nulle...

2. Je ne sais pas pourquoi calculer cette dernière probabilité est difficile ! Tout ce que je sais, c’est que, malgré toutes mes compétences ( :)) je ne sais pas le faire !

Cordialement. F. Gramain

Bonjour Monsieur !
1. Ah ok d’accord, j’ai compris
2. Bon, je ne vais pas essayer de chercher si même pour vous c’est difficile et passer à une autre question de mon niveau !
Je vous remercie sincèrement de vos réponses :)
Bien cordialement,
fluvial