$(x+20)(x+5) = 20\cdot5 \bmod x$ donc les solutions $x\geq 1$ sont exactement les diviseurs de $100=2^2\cdot5^2$, d’où $(2+1)\cdot(2+1) = 9$ solutions.

Si on développait l’expression, une seul terme serait sans $x$ : $5.20$. Il faudrait alors que $x$ divise aussi ce terme, soit $100$.
Les valeurs de $x$ sont $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$, $25$, $50$ et $100$.
Avec $x=25$ c’est joli parce, comme ça, a priori, $30.45$ ne semble pas divisible par $25$.

$x$ divise $(x+20)(x+5)$ si et seulement si il existe un entier relatif $k$ tel que $kx=(x+20)(x+5)$ c’est-à-dire tel que $kx=x^2+25x+100$, ou encore tel que $(k-x-25).x=100$ (il existe alors $t\in\mathbb{Z}$ tel que $tx=100$).
Autrement dit, il faut et il suffit que $x$ divise $100$.
De plus, $100=2^{\color{red} 2} \times 5^{\color{red} 2}$ compte $({\color{red} 2}+1) \times ({\color{red} 2}+1)=9$ diviseurs compris entre $1$ et $100$.
Il y a donc $9$ valeurs possibles pour $x$.