Amusez-vous à faire boguer Excel :
tapez -0,009 en A1, -0,008 en A2,
sélectionnez ces deux cellules et copiez jusqu’en A10.
On s’attend à obtenir 0 dans cette cellule, on y trouve -8,6736E-18 ! (version 2007 en ce qui me concerne).

Très intéressant ce programme simple qui dérive de façon vertigineuse dès les premières itérations.
J’avais réagi à un article similaire en proposant des bogues de la calculatrice de l’iphone/ipodtouch. C’est une calculatrice d’une instabilité extraordinaire : selon le contexte (en début d’utilisation, après qqs calculs, etc.) le simple fait de taper 4096,1 et d’appuyer plusieurs fois sur la touche = produit une suite non-constante divergente !!!!

Dans votre article, il y a deux phrases qui me paraissent un peu
simplificatrices.

* Fondamentalement [les ordinateurs] ne « savent » faire que les
quatre opérations arithmétiques élémentaires.

* La plupart des calculs « utiles » qui sont effectués dans les ordinateurs font référence aux nombres réels.

En fait, les ordinateurs dont je me sers tous les jours, à savoir mon
ordinateur portable, mon téléphone portable, les serveurs de bases de
données (par exemple celles de mon fournisseur de mél, de mon
fournisseur Internet, de la SNCF, de Google, de Wikipédia) utilisent
assez peu les quatre opérations et, s’ils le font, ils le font
presqu’essentiellement sur les entiers. En fait, les principales
opérations que fait un ordinateur sont des opérations de transferts,
de lecture et d’écriture, de contrôle de l’agencement des opérations
et très peu d’additions, de soustractions, de multiplications et de
divisions et la plupart de ces opérations sont faites, comme je le
disais, sur des entiers qui représentent des adresses mémoires de
l’ordinateur, des heures, des numéros divers (de train, d’article, des
notes d’étudiants etc.) et ce sont ces opérations non arithmétiques
qui donnent à l’ordinateur le caractère universel qu’on lui connaît.
Quant à l’utilité, j’espère que, comme moi, vous pensez que les calculs
que font votre ordinateur portable et votre téléphone portable sont « utiles ».

Je pense que ce que vous vouliez dire, c’est que les opérations
fondamentales d’un ordinateur sont des opérations extrêmement simples,
parmi lesquelles figurent les quatre opérations. D’autre part, vous
vouliez peut-être aussi dire que les opérations sur les réels ne
servent pas uniquement dans les consoles de jeux ou la simulation et peuvent être des
opérations « critiques », c’est-à-dire que la vie humaine peut en
dépendre, quand il s’agit, par exemple, de l’aide au pilotage d’un
avion ou du contrôle d’un appareil chirurgical. C’est pourquoi nous ne pouvons
pas nous contenter d’un calcul vaguement approchant, mais que seul le
calcul exact doit être accepté, j’entends par là qu’il n’est
pas acceptable qu’un ordinateur nous rende un flottant approximant une
valeur qu’on lui demande de calculer sans nous garantir que tous les
chiffres qu’il rend sont exacts et s’il y a un arrondi qu’il omette de nous dire comment il est obtenu, c’est à dire que tous ces chiffres
sont effectivement les premiers chiffres du développement infini de la
valeur calculée, sauf le dernier et que celui-ci est arrondi comme
on l’attend. C’est ce qu’exige pour les quatre opérations et la racine carrée la norme IEEE 754. Je recommande à nos lecteurs de lire à ce sujet
l’article Le « dilemme du fabricant de tables » ou comment calculer
juste de la revue en ligne Interstices. Je pense que les anomalies révélées par vous et vos lecteurs se réfèrent à des ordinateurs qui ne respectent pas la norme IEEE 754.

Votre affirmation : la base dix ne peut être utilisée par un ordinateur est une contre vérité, en effet, en utilisant 4 bits, vous pouvez représenter 16 caractères, rien ne vous empêche de n’en conserver que dix qui fournissent les dix chiffres de la base dix, les 6 caractères restants sont les bienvenus pour servir, en cas de besoin, de séparation, signe +, signe -, point décimal, parenthèses. Ainsi avec 32 bits vous représentez un nombre entier de 8 chiffres décimaux et même un nombre décimal précédé d’un signe avec le point décimal et 8 chiffres au total.
Il est possible que certains ordinateurs transforment toutes les représentations en base deux comme vous l’indiquez, mais ce n’est pas ou plus le cas usuel. J’ai essayé sur ma calculatrice de poche « Canon », on trouve dans tous les cas le résultat exact, même chose avec le logiciel « Mathematica ». Ceci me laisse à penser que la représentation utilisée est du type de celle que je propose ci-dessus.
Ceci dit, il est parfaitement vrai que la distributivité est en défaut dès qu’on fait des calculs approchés, mais vos exemples ne sont pas convaincants.

Concernant l’utilisation de la base 10 dans les ordinateurs, je n’ai pas écrit que cela était impossible, mais tout simplement beaucoup plus difficile à réaliser sur les plans technologique et économique. Votre idée de représenter les chiffres décimaux à l’aide 4 bits a longtemps été utilisée dans les années soixante : c’était le DCB (Décimal Codé Binaire) très utilisé en Cobol ; il a été abandonné depuis bien longtemps...

Il convient de noter que le problème que je décris dans l’article n’est pas lié fondamentalement à la base 2 (toute autre base aurait les mêmes conséquences et donc le DCB ne résoudrait rien), mais celui de la « finitude » des ordinateurs : quelle que soit leur capacité, elle ne permet pas de stocker et encore moins de manipuler une infinité de chiffres, d’où l’impossibilité de travailler avec les nombres réels en toute généralité (qui sont « non calculables » je le rappelle).

En ce qui concerne vos expériences « positives », il peut
s’agir soit d’un coup de chance (notez par exemple que le petit programme C donne bien x0=x1=x2=...=x7=1 en simple précision -32 bits-, parce qu’alors A-B=1, un peu « par hasard »), soit d’un calcul effectué de manière formelle (c’est certainement le cas avec Mathematica pour cet exemple).

Il me semble d’abord que le choix de la base de numération n’a aucune importance ici (d’ailleurs, votre idée, celle du DCB depuis longtemps abandonnée, se transposerait à toute base en utilisant des « paquets » de bits de tailles suffisantes), mais il est vrai que la base 10 est plus « naturelle », les bases 2 et 3 étant les plus « économiques » en terme d’information. D’autre part, quelle que soit la base, il est évident qu’il n’y a pas de problèmes tant qu’il n’y pas de débordements or dans les calculs, tels ceux que l’on rencontre en physique mathématique, ces débordements me semblent inévitables (c’est le cas, en particulier, des calculs itératifs qui de plus, mathématiquement, utilisent en général les nombres réels). Enfin, j’ajouterai que la connaissance parfaite (ce qui n’est en général pas le cas comme vous le soulignez) des règles d’arrondis ne résoudrait pas tous les problèmes : je pense évidemment aux systèmes sensibles aux conditions initiales. En effet, dans leur cas, tout résultat intermédiaire X est la condition initiale du calcul suivant et donc toute imprécision concernant X se répercute dramatiquement sur la suite (voir les expériences que j’ai faites sur la dynamique de Verhulst ou encore l’attracteur de Lorenz : http://www.lactamme.polytechnique.f...)...