A,B et C sont des points d’un cercle de centre O. D point de (AC), E point de (AB) et F sont tels que les triangles FCD et FEB sont égaux dans cet ordre.
Il s’agit de démontrer que (DE) et (FO) sont perpendiculaires.
La figure s’enrichit de 3 cercles passant par A,B,D centre P ; A,D,E centre Q ; A,C, E centre R.
G est l’autre intersection que A de (O) et (Q)
(QP) est la médiatrice de [AD] qu’elle coupe en son milieu H et (OR) médiatrice de [AC] le coupe en son milieu I. On a alors facilement IH = CD/2 et (QP)//(OR).
En faisant de même avec (PO) et (QR) sur (AC) on a JK = BE/2 et (OP) // (QR).
On en déduit que OPQR est un losange. Soit M son centre.
M est sur la médiatrice (PR) de [AF] donc MA = MF. Il est aussi sur la médiatrice (OQ) de [AG] donc MA = MG. Les 2 médiatrices sont perpendiculaires donc les segments aussi. AFG est un triangle rectangle et M est le milieu de [FG] comme M est aussi le milieu de [OQ] on a (GQ)//(OF).
On a (AD,AG) = (OM,OR) ayant des côtés perpendiculaires 2 à 2. De même (AG,AE) = (OQ,OP) et comme (OM,OR) = (OQ,OP) AG devient la bissectrice de (AD,AE) .
Dans le cercle (Q) G est alors un point de la médiatrice de [DE] donc (GQ) et sa parallèle (OF) sont perpendiculaires à (DE)
OUF !!!

Impressionnant ! J’étais parti sans succès sur l’idée de rotation (FBE est FDC après rotation), ce qui implique des angles égaux, des points cocycliques, etc. Mais sans plus.

Je reprends les notations de Sidonie, et je redécris la figure comme je l’ai explorée.

On a un trangle FDC (en rouge), et un second triangle FBE, déduit du premier par une rotation, qui emmene (FD) sur (FB), etc. Je note (FD,FB)=w, l’amplitude de la rotation.

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On voit apparaître les triangles isocèles FDB et FCE. Ils sont semblables.
Alors, on peut imaginer une rotation de centre F d’amplitude (FD,FC)=f, suivie d’une homothétie (centre F, rapport FC/FD), qui transportera FDB sur FCE.

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Je trace alors les cercles circonscrits à ces derniers triangles.
P centre du cercle (FDB), et R centre du cercle (FCE).
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Par ailleurs la figure introduit le cercle (ABC), de centre O

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Les points F,B,A,D sont cocycliques, de même que F,A,C,E (autrement dit, A est l’intersection des cercles circonscrits aux triangles FCE et FBD)
Démonstration ...
(EF,EA)=(CF,CA) - triangles FBE et FDC égaux. Donc F, A, C, E cocycliques
(DF,DA)=(BF,BA) - angles supplémentaires aux sommets en B et D. Donc F,B,D,A cocycliques
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Sidonie introduit un cercle supplémentaire, qui lui permet d’achever la preuve.

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Je m’arrête à cet endroit, et j’observe :

• Les triangles FRP et FCD sont semblables.
  FP médiatrice de BD et (FD,FB)=w.
  (FD,FP)=w/2. De même (FC,FR)=w/2. Donc (FP,FR)=(FD,FC)=f
  de plus, FP/FR=FD/FC
  (RF,RP)=(CF,CD) ; (PR,PF)=(DC,DF)
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• Les triangles OPR et FBD sont semblables
  O et P sur la médiatrice de AB.
  O et R sur celle de AC.
  P et R sur la médiatrice de AF.
  Donc (OR,OP)=(AC,AB)=(FD,FB)= w, et (PR,PO)=(AF,AB)=(DF,DB)
  et OP=OR
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Il me semble alors que cette propriété du point O doit « cacher quelque chose » — liée à l’orthogonalité à prouver.

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Remarque. Il y a d’autres propriétés merveilleuses. Par exemple, j’appelle W l’intersection de (DB) et (CE). Alors, les cercles circonscrits à FDC et FBE passent par W.