On peut signaler que cette propriété de découpage peut être renforcée en exploitant davantage la deuxième dimension : supposons donnés non plus seulement deux millions de points mais quatre millions, deux millions de bleus et deux millions de rouges. Alors il existe une droite qui partage le plan en deux parties, dont chacune contient exactement un million de points bleus mais aussi un million de points rouges. Il faut cependant alors autoriser la droite à passer par certains points qui dans ce cas comptent au choix pour l’une ou l’autre des parties (autrement dit, chaque partie contient moins de la moitié des points de chaque couleur).

Il s’agit d’un cas particulier du théorème du sandwich au jambon.

Une preuve dans le même esprit que celle du billet est d’ailleurs possible, bien que moins brève, en suivant le principe suivant. Par la méthode décrite dans le billet on peut trouver une droite qui divise l’ensemble des points rouges en deux parties égales. On peut de plus se convaincre que l’on peut déplacer continûment cette droite de façon à lui faire faire un demi-tour et à ce que tout au long du déplacement la propriété de division en parties égales (au sens large ci-dessus) pour les points rouges reste vraie (*). Regardons alors comment évolue, durant ce demi-tour, la différence entre les nombres de points bleus situés (strictement) d’un côté et de l’autre de la droite : entre le début et la fin, ce nombre est remplacé par son opposé. Il y a donc au moins un instant où ce nombre vaut 0 ou « saute » en changeant de signe. À cet instant, la droite résout le problème (dans le cas d’un saut, cette conclusion demande quelques instants de réflexion).

(*) Par exemple : faire tourner la droite à vitesse constante d’abord autour d’un point quelconque puis, à chaque fois que la droite rencontre un ou plusieurs points rouges, prendre pour nouveau centre de rotation un point de la droite tel que la répartition stricte (un million de points rouges chaque côté) sera rétablie immédiatement après [À savoir un point qui sépare les points rouges de la droite en un groupe de N-n et un groupe de N-n’ si N=un million et n, n’ sont les nombres de points d’un côté et de l’autre de la droite, dans le sens approprié : faire un dessin !]. Après un demi-tour, la droite est parallèle à sa position initiale et il n’y a aucun point rouge entre les deux donc une translation achève de ramener l’une à l’autre.

Ce problème est aujourd’hui encore donné à l’oral de Polytechnique. Mais avec beaucoup moins d’ambition cependant : 500 points seulement.