12 mai 2011

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  • Impossible

    le 12 mai 2011 à 09:12, par Gouanelle

    Peut-ëtre serait-il utile de rappeler aussi l’existence de la Logique Floue qui traite rigoureusement de l’incertain et de l’imprécis.
    CF. Le QUE SAIS-JE ? de Bernadette Bouchon-Meunier qui en donne un aperçu accessible aux non-spécialistes.

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    • Impossible

      le 12 mai 2011 à 13:05, par Étienne Ghys

      Merci pour votre commentaire.
      En effet, la « logique floue » est un autre exemple allant dans la même direction.

      Etienne Ghys

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  • Impossible

    le 12 mai 2011 à 10:31, par Aurélien Djament

    Bonjour à tous,

    merci à Étienne Ghys pour ce joli article. Une question sur la conjecture des nombres premiers jumeaux : est-elle citée à simple titre d’exemple, comme aurait pu l’être n’importe quel autre problème résistant aux assauts des mathématiciens depuis très longtemps, ou y a-t-il des motifs spécifiques à cette conjecture qui laissent soupçonner qu’elle pourrait être indécidable ?

    Bien cordialement,

    A.D.

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    • Impossible

      le 12 mai 2011 à 13:08, par Étienne Ghys

      Merci aussi pour le commentaire. Rien de particulier avec la conjecture des nombres premiers jumeaux : j’ai en effet choisi un peu au hasard un énoncé arithmétique qui résiste aux assauts des mathématiciens. Le théorème de Goodstein est intéressant mais au peu difficile à expliquer en restant au niveau que je m’étais fixé pour cet article.

      Etienne Ghys

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  • Impossible

    le 12 mai 2011 à 21:22, par Quentin Cohen-Solal

    Bonjour,
    J’aurais une question :
    De ce que j’avais compris un énoncé indécidable dans une théorie pouvait être rajouté à cette théorie comme axiome et définissait une nouvelle théorie (comme l’axiome des parallèles donnant la géométrie euclidienne, hyperbolique ou elliptique) ou pouvait se démontrer ou se réfuter en rajoutant certains axiomes (peut être en nombre infini) (ce qui revient, je suppose d’une certaine façon au premier cas de figure). Alors comment un énoncé peut être vrai et indécidable ?

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    • Impossible

      le 12 mai 2011 à 22:54, par Étienne Ghys

      Bonsoir,

      Toute la question est de comprendre le sens que l’on donne au mot « vrai ». J’ai essayé d’expliquer dans cet article que « vrai » et « démontrable » sont des notions différentes.
      Voici quelques explications supplémentaires.

      Je commence par le mot « démontrable ». Vous avez bien raison de dire que si un énoncé est indécidable, on peut tout à fait convenir de l’ajouter à notre liste d’axiomes et alors il devient démontrable. On peut tout aussi bien ajouter sa négation à la liste d’axiomes et sa négation devient donc également démontrable. On obtient ainsi deux théories qui sont toutes les deux cohérentes et qui pourtant démontrent des choses différentes. Comme vous le faites très bien remarquer, c’est ce qui se passe en géométrie. L’énoncé « Par un point pris hors d’une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite », ainsi que sa négation, ne peuvent pas se démontrer à partir des autres axiomes de la géométrie euclidienne. On peut donc ajouter cet énoncé à notre liste d’axiomes, comme l’a fait Euclide, et on obtient la géométrie euclidienne « classique », ou pas, et on construit ainsi les géométries non-euclidiennes. Ces géométries non-euclidiennes démontrent des théorèmes qui sont différents de ceux de la géométrie euclidienne ! Et pourtant, les deux géométries sont correctes !!! Y a-t-il contradiction ? Non, parce que ces diverses géométries ne parlent pas des mêmes « choses », même si elles emploient les mêmes mots...

      Pour comprendre cela, il faut préciser le sens du mot « vrai ». Si j’appelle « point » un couple $(x,y)$ de nombres réels, si j’appelle « droite » l’ensemble des couples qui vérifient une équation du genre $ax+by=c$, je peux constater que tous les axiomes d’Euclide, y compris celui des parallèles, expriment des faits qui sont satisfaits dans ce « modèle » concret du plan euclidien : ils sont « vrais » dans ce modèle. Dans ce modèle, il est vrai par exemple que « Par un point pris hors d’une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite » parce que je peux le montrer en étudiant les équations des droites. De la même manière, il existe des modèles concrets de géométrie non-euclidienne que je ne peux pas décrire ici en détail (dans l’un de ces modèles, on appelle « point » un couple $(x,y)$ tel que $x^2+y^2<1$ et « droite » l’ensemble des couples $(x,y)$ tels que $x^2+y^2<1$ et $ax+by=c$). Eh bien, dans ces modèles, différents du premier, l’énoncé « Par un point pris hors d’une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite » n’est pas satisfait : il est faux. Ces modèles sont décrits par une autre théorie axiomatique, dans laquelle on n’a pas retenu cet énoncé comme axiome.

      Il y a donc deux niveaux bien différents.

      Celui de l’axiomatique, dans lequel les énoncés sont démontrables, ou réfutables, ou indécidables. Ils ne sont ni vrais ni faux, ou plus précisément ces mots ne s’appliquent pas à eux.

      Mais il y a aussi le niveau du modèle, « le monde » que l’axiomatique cherche à décrire, dans lequel les énoncés sont vrais ou faux. Lorsque je dis qu’un énoncé est vrai, c’est que j’ai en tête un modèle précis que je veux étudier.

      Pour décrire un modèle donné, on cherche toujours une axiomatique dont les énoncés démontrables sont vrais, dans le modèle étudié.
      Il y a souvent plusieurs manières de le faire. On aimerait vraiment que l’axiomatique permette de démontrer tous les énoncés vrais du modèle mais le théorème de Gödel nous dit que ce vœu n’est pas réalisable...

      Réciproquement, une axiomatique donnée peut être adaptée à plusieurs modèles. Par exemple, si on retire l’énoncé sur les parallèles des axiomes d’Euclide, on obtient une théorie axiomatique qui démontre des théorèmes qui sont à la fois vrais dans les géométries euclidiennes et non-euclidiennes : cette théorie est compatible avec moins deux modèles. Mais malheureusement, cette théorie est trop faible et elle laisse des tas d’énoncés indécidables (à commencer par l’énoncé sur les parallèles).

      Je résume. Il y a beaucoup de mondes mathématiques, de modèles, dans lesquels le concept de vérité a un sens. Et puis, il y a des axiomatiques, qui permettent de démontrer certains énoncés, d’en réfuter d’autres, et de laisser « indécidables » d’autres. Certaines axiomatiques sont compatibles avec plusieurs modèles. Certains énoncés indécidables peuvent tout à fait être vrais dans certains modèles et faux d’en d’autres. Pas de contradiction...

      J’espère avoir été clair. Il faut reconnaître que ce n’est pas facile...

      Etienne Ghys

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      • Impossible

        le 13 mai 2011 à 15:24, par Vincent Beffara

        Bonjour,

        Je voudrais rajouter une petite remarque quand même plus rassurante : il y a un autre théorème de Gödel, qui s’appelle le théorème de complétude, mais comme il est moins choquant il est beaucoup moins connu. En tout cas il y est beaucoup moins souvent fait référence dans les ouvrages de vulgarisation ... Il énonce la chose suivante. Comme le dit Étienne, il y a des énoncés qui découlent des axiomes par une suite de déductions (qui sont démontrables) et des énoncés qui sont vrais dans certains modèles. Et bien sûr un énoncé démontrable est vrai dans tout modèle (sous-entendu, si la théorie n’est pas contradictoire).

        Eh bien la réciproque est vraie : si un énoncé est vrai dans tout modèle d’une théorie, alors il est démontrable.

        Une autre façon de dire la même chose : si un énoncé ne découle pas des axiomes, alors il existe un modèle où il est faux.

        C’est ce que dit Étienne en disant qu’il existe des modèles de la géométrie euclidienne et des modèles de la géométrie non-euclidienne. Dans ce cas on peut s’en convaincre en donnant des exemples explicites, mais il s’agit d’un résultat entièrement général. Et contrairement à ce qu’on pourrait croire, surtout dans sa seconde formulation, il n’est pas évident ! (À peu de choses près, il dit que toute théorie non contradictoire admet un modèle, ce qui a l’air naturel mais ne va pas complètement de soi ...)

        D’une certaine façon le théorème de complétude est beaucoup plus important pour les mathématiques que le théorème d’incomplétude, puisqu’il justifie le fait que la logique que l’on utilise d’habitude (si A et A implique B alors B) permet de prouver tout ce qui est toujours vrai, ou autrement dit que notre façon de faire des maths est raisonnable ...

        /v

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        • Impossible

          le 13 mai 2011 à 16:36, par Étienne Ghys

          Merci à Vincent pour son message rassurant :-) Il a bien sûr totalement raison. Le seul point que je voudrais ajouter, signalé dans le texte principal, est plus de nature philosophique. La plupart des mathématiciens pensent que leur boulot est de visiter un territoire qui existe vraiment, comme par exemple celui des entiers naturels. En clair, ils sont intéressés par un modèle, celui qui « existe réellement » et qu’ils veulent comprendre. Il ne leur vient que très rarement à l’esprit (même si ça arrive) qu’on peut changer de modèle. Alors, le théorème selon lequel un énoncé est démontrable s’il est vrai dans TOUS les modèles est en effet rassurant mais je n’ai pas trop envie d’aller visiter TOUS les modèles (il y en a beaucoup !) pour savoir si l’énoncé précis qui m’intéresse est démontrable !

          Etienne

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  • Impossible

    le 13 mai 2011 à 14:27, par Christophe Boilley

    Bonjour, merci pour l’article et les précisions. L’image choisie m’intrigue un peu : on y voit bien un cercle inscrit dans un carré, mais s’agit-il vraiment d’une tentative de quadrature ? L’ouvrage dont elle est extraite aborde-t-il réellement cette notion ou récupère-t-il le terme dans un contexte plus ésotérique ?

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    • Impossible

      le 13 mai 2011 à 16:27, par Étienne Ghys

      Il me semble qu’il y a bien peu d’expressions mathématiques qui passent dans la vie courante, en dehors des mathématiques. La quadrature du cercle est un bon exemple. Beaucoup de gens savent vaguement que c’est relié à une question mathématique, mais ils n’en savent guère plus. Et il y a derrière cette expression une image presque ésotérique. La quête de la solution de la quadrature du cercle se rapproche de celles de la pierre philosophale ou du Saint Graal ! En tous cas, la « quadrature du cercle » a maintenant quitté les mathématiques pour entrer dans le langage commun. D’après Littré : « C’est la quadrature du cercle, se dit d’une chose impossible à trouver ». Mon projet initial était d’écrire quelque chose sur la « quadrature du cercle ». Cette image (dans le domaine public) m’a plu : justement, elle sort du domaine mathématique : son titre anglais est « squaring the circle » mais quand on la cherche sur internet, on la retrouve dans des textes reliant mathématiques, religion et divination. En latin, c’est « Fac ex mare & fœmina circulum, inde quadrangulum, hinc triangulum, fac circulum & habebis lap. Philosophorum. » et en français « Du mâle et de la femelle, fais un cercle, puis, de là, un carré, et ensuite un triangle ; fais un cercle et tu auras la Pierre des Philosophes. » - Quadrature philosophale. En effet, on s’est beaucoup éloigné des maths et cette image n’était peut-être pas une bonne idée pour illustrer mon texte... Mais n’oublions pas que quelques-uns des plus grands mathématiciens de tous les temps étaient alchimistes et devins : Kepler et Newton sont des exemples célèbres. Pour résumer, il est bien probable que cette image n’illustre en rien la quadrature du cercle et qu’elle n’aurait pas du être présente dans ce texte, mais je l’aime bien.

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      • Impossible

        le 13 mai 2011 à 23:36, par Christophe Boilley

        Le fait de bien aimer une image est un argument tout à fait recevable. Par ailleurs cette image illustre bien la réappropriation du vocabulaire mathématique dans d’autres contextes.
        Quant aux « expressions mathématiques qui passent dans la vie courante », après avoir un peu cherché en diagonale, je ne crois pas commettre d’impair en pensant que nombre de termes issus de la sphère mathématique sont à géométrie variable. Le cercle des mathématiciens a beau sembler parfois perdu dans la quatrième dimension, il n’a pas de périmètre de sécurité, si l’on me permet ce parallèle. Voyons les choses sous un angle plus positif, soyons un peu carré. Nous sommes tous vecteurs de ce dénominateur commun des langues, une évolution dans l’arbre des possibles, que nous ayons nos coordonnées dans l’Hexagone ou au Pentagone. CQFD

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  • Impossible

    le 14 mai 2011 à 06:46, par Dimitri Karpov

    L’article en lui-même est très intéressant, mais que dire des développements en commentaires... Wahou !! Et ce théorème de complétude de Gödel est riche en enseignements sur le fondement de nos mathématiques. Dommage que le seul cours de logique de ma scolarité fût spécialement aride et incompréhensible (j’imagine que c’est un peu inhérent à la logique).

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