Merci pour votre commentaire.
En effet, la « logique floue » est un autre exemple allant dans la même direction.

Etienne Ghys

Merci aussi pour le commentaire. Rien de particulier avec la conjecture des nombres premiers jumeaux : j’ai en effet choisi un peu au hasard un énoncé arithmétique qui résiste aux assauts des mathématiciens. Le théorème de Goodstein est intéressant mais au peu difficile à expliquer en restant au niveau que je m’étais fixé pour cet article.

Etienne Ghys

Bonsoir,

Toute la question est de comprendre le sens que l’on donne au mot « vrai ». J’ai essayé d’expliquer dans cet article que « vrai » et « démontrable » sont des notions différentes.
Voici quelques explications supplémentaires.

Je commence par le mot « démontrable ». Vous avez bien raison de dire que si un énoncé est indécidable, on peut tout à fait convenir de l’ajouter à notre liste d’axiomes et alors il devient démontrable. On peut tout aussi bien ajouter sa négation à la liste d’axiomes et sa négation devient donc également démontrable. On obtient ainsi deux théories qui sont toutes les deux cohérentes et qui pourtant démontrent des choses différentes. Comme vous le faites très bien remarquer, c’est ce qui se passe en géométrie. L’énoncé « Par un point pris hors d’une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite », ainsi que sa négation, ne peuvent pas se démontrer à partir des autres axiomes de la géométrie euclidienne. On peut donc ajouter cet énoncé à notre liste d’axiomes, comme l’a fait Euclide, et on obtient la géométrie euclidienne « classique », ou pas, et on construit ainsi les géométries non-euclidiennes. Ces géométries non-euclidiennes démontrent des théorèmes qui sont différents de ceux de la géométrie euclidienne ! Et pourtant, les deux géométries sont correctes !!! Y a-t-il contradiction ? Non, parce que ces diverses géométries ne parlent pas des mêmes « choses », même si elles emploient les mêmes mots...

Pour comprendre cela, il faut préciser le sens du mot « vrai ». Si j’appelle « point » un couple $(x,y)$ de nombres réels, si j’appelle « droite » l’ensemble des couples qui vérifient une équation du genre $ax+by=c$, je peux constater que tous les axiomes d’Euclide, y compris celui des parallèles, expriment des faits qui sont satisfaits dans ce « modèle » concret du plan euclidien : ils sont « vrais » dans ce modèle. Dans ce modèle, il est vrai par exemple que « Par un point pris hors d’une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite » parce que je peux le montrer en étudiant les équations des droites. De la même manière, il existe des modèles concrets de géométrie non-euclidienne que je ne peux pas décrire ici en détail (dans l’un de ces modèles, on appelle « point » un couple $(x,y)$ tel que $x^2+y^2<1$ et « droite » l’ensemble des couples $(x,y)$ tels que $x^2+y^2<1$ et $ax+by=c$). Eh bien, dans ces modèles, différents du premier, l’énoncé « Par un point pris hors d’une droite, on peut mener une et une seule parallèle à cette droite » n’est pas satisfait : il est faux. Ces modèles sont décrits par une autre théorie axiomatique, dans laquelle on n’a pas retenu cet énoncé comme axiome.

Il y a donc deux niveaux bien différents.

Celui de l’axiomatique, dans lequel les énoncés sont démontrables, ou réfutables, ou indécidables. Ils ne sont ni vrais ni faux, ou plus précisément ces mots ne s’appliquent pas à eux.

Mais il y a aussi le niveau du modèle, « le monde » que l’axiomatique cherche à décrire, dans lequel les énoncés sont vrais ou faux. Lorsque je dis qu’un énoncé est vrai, c’est que j’ai en tête un modèle précis que je veux étudier.

Pour décrire un modèle donné, on cherche toujours une axiomatique dont les énoncés démontrables sont vrais, dans le modèle étudié.
Il y a souvent plusieurs manières de le faire. On aimerait vraiment que l’axiomatique permette de démontrer tous les énoncés vrais du modèle mais le théorème de Gödel nous dit que ce vœu n’est pas réalisable...

Réciproquement, une axiomatique donnée peut être adaptée à plusieurs modèles. Par exemple, si on retire l’énoncé sur les parallèles des axiomes d’Euclide, on obtient une théorie axiomatique qui démontre des théorèmes qui sont à la fois vrais dans les géométries euclidiennes et non-euclidiennes : cette théorie est compatible avec moins deux modèles. Mais malheureusement, cette théorie est trop faible et elle laisse des tas d’énoncés indécidables (à commencer par l’énoncé sur les parallèles).

Je résume. Il y a beaucoup de mondes mathématiques, de modèles, dans lesquels le concept de vérité a un sens. Et puis, il y a des axiomatiques, qui permettent de démontrer certains énoncés, d’en réfuter d’autres, et de laisser « indécidables » d’autres. Certaines axiomatiques sont compatibles avec plusieurs modèles. Certains énoncés indécidables peuvent tout à fait être vrais dans certains modèles et faux d’en d’autres. Pas de contradiction...

J’espère avoir été clair. Il faut reconnaître que ce n’est pas facile...

Etienne Ghys

Il me semble qu’il y a bien peu d’expressions mathématiques qui passent dans la vie courante, en dehors des mathématiques. La quadrature du cercle est un bon exemple. Beaucoup de gens savent vaguement que c’est relié à une question mathématique, mais ils n’en savent guère plus. Et il y a derrière cette expression une image presque ésotérique. La quête de la solution de la quadrature du cercle se rapproche de celles de la pierre philosophale ou du Saint Graal ! En tous cas, la « quadrature du cercle » a maintenant quitté les mathématiques pour entrer dans le langage commun. D’après Littré : « C’est la quadrature du cercle, se dit d’une chose impossible à trouver ». Mon projet initial était d’écrire quelque chose sur la « quadrature du cercle ». Cette image (dans le domaine public) m’a plu : justement, elle sort du domaine mathématique : son titre anglais est « squaring the circle » mais quand on la cherche sur internet, on la retrouve dans des textes reliant mathématiques, religion et divination. En latin, c’est « Fac ex mare & fœmina circulum, inde quadrangulum, hinc triangulum, fac circulum & habebis lap. Philosophorum. » et en français « Du mâle et de la femelle, fais un cercle, puis, de là, un carré, et ensuite un triangle ; fais un cercle et tu auras la Pierre des Philosophes. » - Quadrature philosophale. En effet, on s’est beaucoup éloigné des maths et cette image n’était peut-être pas une bonne idée pour illustrer mon texte... Mais n’oublions pas que quelques-uns des plus grands mathématiciens de tous les temps étaient alchimistes et devins : Kepler et Newton sont des exemples célèbres. Pour résumer, il est bien probable que cette image n’illustre en rien la quadrature du cercle et qu’elle n’aurait pas du être présente dans ce texte, mais je l’aime bien.