BD du Août 2020

Una fibración de Seifert, por Jos Leys.

Una fibración de Seifert, por Jos Leys.

Si pensamos en las dos coordenadas del plano como números complejos, cada uno con una parte real y otra imaginaria, el plano (complejo) adquiere dimensión 4. La circunferencia unitaria a la que estamos acostumbrados se transforma en una esfera en un espacio de dimensión 4, es decir, una esfera de dimensión 3. Esta manera de pensar puede parecer extraña a primera vista, pero permite comprender en profundidad un gran número de preguntas de la geometría algebraica, como por ejemplo la naturaleza de una curva algebraica en torno a un punto. Por ejemplo, si observas la
curva de ecuación $x^3=y^2$ considerando $x$ e $y$ como números complejos, y si la observas sobre la esfera unitaria, lo que ves es... ¡un nudo de trébol ! La topología surge entonces para ayudar a estudiar las curvas. La imagen siguiente representa una vista de la esfera de dimensión 3 (por proyección estereográfica...) sobre la cual han sido representados nudos de trébol que forman lo que se denomina una ’’fibración de Seifert’’. Las ecuaciones no son difíciles : $x^3=ay^2$, donde $a$ es un número complejo que se hace variar libremente. Estos nudos ’’fibran’’ la esfera como lo hacen las fibras de un tejido. No existe nada análogo sobre la esfera de dimensión 2.


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