BD du Août 2020

La cuártica de Klein, por Jos Leys.

La cuártica de Klein, por Jos Leys.

Durante mucho tiempo, la geometría algebraica se preocupó de las ’’curvas algebraicas’’, es decir, de curvas del plano que son definidas por una ecuación como por ejemplo : $x^3y+y^3+x=0$ (¿por qué no hacerlo ?). La idea genial de Riemann fue la de interpretar las coordenadas x ;y como las de un número complejo, cada uno con su parte real e imaginaria correspondientes. ¡ La curva ’’compleja’’ es entonces una curva en un espacio de dimensión 4 ! Pensar en una curva como una superficie de Riemann fue una idea extraordinariamente fecunda. Por ejemplo, al estudiar la curva $x^3y + y^3+x=0$, Klein probó que la superficie asociada posee exactamente 168 simetrías. Así como uno puede pensar en un toro a partir de un plano cuadriculado en casillas de dos colores, Klein muestra cómo se puede entender ’’su curva’’ usando un tablero bicolor más complicado que el del ajedrez. Para describir este resellado, habría que hablar en términos de la geometría no euclidiana, otro de los grandes descubrimientos del siglo XIX.


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