BD du Juin 2020

Curva de Jordan, por Jos Leys.

Curva de Jordan, por Jos Leys.

Toma un lápiz y dibuja una curva que se cierra sobre una hoja de papel, por ejemplo, una circunferencia. Si cortas la hoja con tijeras a los largo de la curva, obtendrás dos pedazos : el interior y el exterior de la curva. Ciertamente, si la curva se interseca a sí misma (como en la figura 8, por ejemplo), el corte puede producir tres pedazos, o incluso más. El teorema de Jordan afirma que una curva cerrada continua que no pasa dos veces por el mismo punto divide al plano exactamente en dos pedazos.

¿Evidente ? Hacia fines del siglo XIX, las curvas continuas de tipo muy irregular hacen su aparición en matemáticas. La necesidad de una prueba de esta ’’evidencia’’ se deja entonces sentir. Jordan ’’demuestra su teorema’’ en 1887, pero su ’’prueba’’ no convence a sus colegas... ¡Se necesitará de otra prueba de Veblen en 1905 para que todo el mundo se convenza ! La figura representa una de estas ’’curvas de Jordan’’. Partiendo de un rosario de cuatro discos tangente, se construye sucesivamente, mediante inversiones repetidas, rosarios de discos tangentes constituídos por más y más discos, cada vez más pequeños. El límite de estos rosarios es una curva cerrada y continua, la cual posee interior y exterior, de acuerdo al teorema de Jordan.


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