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La courbe de Menger, par Jos Leys.

La courbe de Menger, par Jos Leys.

Qu’est-ce qu’une courbe ? Au fil des siècles, les mathématiciens ont diversifié leurs points de vue sur les courbes. Les grecs anciens ont considéré les droites, les cercles, certaines spirales, puis les paraboles, les ellipses etc... Le vivier s’est ensuite enrichi grâce en particulier à l’explosion de la géométrie algébrique au dix-neuvième siècle. Mais vers le début du vingtième siècle, des objets plus bizarres font leur apparition et le temps est alors venu d’une clarification de l’idée de courbe. Parmi les nombreuses définitions possibles, il en est une qui est « topologique ». Une partie du plan (ou de l’espace) est une « courbe » si elle peut être « approchée » par des collections finies de disques (ou de boules) avec la condition que deux de ces boules peuvent se rencontrer mais pas trois ! Pour être plus précis — et probablement moins compréhensible — pour tout nombre r>0, il faut pouvoir trouver une réunion finie et connexe de boules de rayons inférieurs à r qui recouvrent notre courbe et qui ne se coupent pas trois à trois. Par exemple, un cercle est une courbe car on peut le recouvrir par des chapelets de disques aussi petits qu’on le souhaite, mis bout à bout, tels que chacun rencontre le précédent et le suivant, mais sans intersection triple.

La figure représente la « courbe de Menger » : elle s’obtient en partant d’un cube formé de 3x3x3 petits cubes et en enlevant le petit cube central ainsi que les petits cubes aux centres des faces ; il en reste donc 20. On fait subir le même sort à chacun de ces 20 petits cubes : on les décompose eux-mêmes en 27 plus petits cubes et on n’en garde que 20. Et on recommence ... à l’infini. Ce qui reste (car il reste quelque chose !) est la courbe universelle de Menger.


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