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La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys.

La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys.

Une courbe fermée qui ne se recoupe pas décompose le plan en deux composantes : c’est le théorème de Jordan. Un théorème important a été énoncé par Osgood en 1902 mais la première preuve convaincante date de 1914 et elle est due à Tietze. Et pourtant ce théorème est connu sous le nom de Schoenfliess ! De quoi s’agit-il ? Il affirme que pour toute courbe de Jordan, aussi compliquée soit-elle, on peut toujours trouver une transformation globale continue du plan (qu’on appelle un homéomorphisme) qui applique la courbe sur un cercle. Qu’en est-il dans l’espace ? Tracer une courbe de Jordan, cela revient à associer à chaque point d’un cercle un point du plan et ceci de manière continue, en évitant de passer plusieurs fois au même endroit. De la même manière, on peut « tracer » une « sphère de Jordan » dans l’espace ; cela signifie qu’on associe à chaque point d’une sphère un point de l’espace, de manière continue, et sans s’autoriser de points multiples. Le théorème de Jordan reste valable : une « sphère de Jordan » a bien un intérieur et un extérieur. Mais le théorème de Schoenfliess ne l’est plus ! En 1924, Alexander a construit un exemple d’une « sphère de Jordan » qu’il est impossible de transformer en une sphère habituelle par un homéomorphisme de l’espace ; c’est cet objet qui est représenté ici. Là encore, l’objet est obtenu par un procédé limite. On part d’une sphère dans l’espace et deux cornes en sortent... Topologiquement, il s’agit encore d’une « sphère de Jordan »... Puis, sur les surfaces des cornes, deux nouvelles cornes poussent... Elles sont plus petites mais elles se touchent presque... Si elles se touchaient vraiment, on aurait un point multiple et ce ne serait pas une sphère de Jordan mais elles ne se touchent pas ! Et on recommence ... à l’infini.

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