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Sphère de Riemann, par Jos Leys.

Sphère de Riemann, par Jos Leys.

Pourquoi dit-on que la Terre est une sphère est de dimension 2 ? Parce que ses habitants (nous !) vivent à sa surface. Pour se repérer et indiquer une position sur Terre, il nous faut donner deux coordonnées, par exemple la longitude et la latitude. Il y a beaucoup de manières de repérer un point sur la Terre par deux coordonnées. La figure représente la « projection stéréographique ». Partant d’un point sur Terre, différent du pôle nord, on le joint au pôle nord par une droite et on observe où cette droite rencontre le plan tangent au pôle sud. Ainsi, toute la Terre, sauf le pôle nord, est représentée sur un plan, dans lequel on peut utiliser deux coordonnées x,y, comme d’habitude. Au début du dix-neuvième siècle, on prend conscience qu’il peut être utile d’utiliser les nombres complexes z=x+iy si bien que la sphère par exemple (un objet bidimensionnel) est maintenant décrite par un seul nombre, cette fois complexe. La sphère devient donc de dimension 1, complexe, c’est-à-dire que la sphère est une courbe ! Jeu de mots ? Lorsqu’on pense à la sphère comme une courbe complexe, il est de coutume de parler de la « sphère de Riemann ».