Figure sans paroles #2.33

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 2.33

    le 12 septembre à 15:19, par Reine

    Cette figure montre quatre droites, et, en pointillés, les cercles circonscrits aux quatre triangles ayant pour côtés trois parmi ces droites ; il apparaît que ces quatre cercles ont un point commun. Cette propriété peut aisément être démontrée, d’au moins deux façons différentes, grâce à des conditions nécessaires et suffisantes pour que quatre points soient sur un même cercle.

    Un premier critère que l’on peut utiliser est le théorème que voici (droite de Simson) : Étant donné un point et un triangle dans le plan, le point est sur le cercle passant par les trois sommets du triangle si et seulement si ses projections orthogonales sur les trois côtés sont alignées.

    Appelons $D_1$, $D_2$, $D_3$ et $D_4$ les quatre droites données. Le triangle dont les côtés sont sur $D_1$, $D_2$ et $D_3$ et celui dont les côtés sont sur $D_1$, $D_2$ et $D_4$ ont un sommet commun (l’intersection de $D_1$ et $D_2$) ; les cercles circonscrits à ces deux triangles se coupent en ce point et en un autre point, que nous appellerons I. Le critère dit que les projections de I sur $D_1$, $D_2$ et $D_3$ sont alignées, ainsi que ses projections sur $D_1$, $D_2$ et $D_4$. Les quatre projections sont donc sur une même droite, et en appliquant maintenant le critère dans l’autre sens, on voit que I est aussi sur les cercles circonscrits aux deux autres triangles.

    Remarque. — Cet argument montre un peu plus que la propriété annoncée : non seulement les quatre cercles ont un point commun, mais ce point est l’unique point du plan dont les projections sur les quatre droites sont alignées.

    Une autre démonstration utilise des angles orientés de droites et le critère angulaire de cocyclicité : quatre points$\,$ P, Q, R et$\,$ S du plan sont cocycliques si et seulement si les angles de droites$\,$ (PR,PS) et$\,$ (QR,QS) sont égaux (égalité modulo $\pi$, les angles de droites n’étant définis qu’à un multiple de $\pi$ près).

    Nos quatre droites seront les trois côtés d’un triangle ABC et une quatrième droite coupant BC en un point A’, CA en un point B’ et AB en un point C’ ; les cercles circonscrits à ABC et AB’C’ ont en commun le point A et un autre point que l’on appellera I. Il s’agit de vérifier que I est aussi sur les cercles circonscrits à A’BC’ et A’B’C. Je vais le faire pour A’B’C, le cas de A’BC’ pouvant s’en déduire en permutant les étiquettes de B et C, et de B’ et C’.

    Décomposons l’angle (IB’,IC) en la somme (IB’,IA) + (IA,IC). La cocyclicité de I, C’, B’ et A, puis de I, B, A et C, permet de remplacer le premier terme par (C’B’,C’A), puis le second par (BA,BC). Les droites C’A et BA étant les mêmes, la somme vaut (C’B’,BC), c’est-à-dire (A’B’,A’C). Enfin, cette égalité (IB’,IC) = (A’B’,A’C) dit que I est sur le cercle passant par A’, B’ et C.

    Document joint : figure-2-33.jpg
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