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• 2.34

  le 12 de septiembre de 2021 à 16:01, par Reine

  Soit quatre droites dans le plan. Prises trois à trois, ces quatre droites forment quatre triangles. Les quatre cercles circonscrits à ces triangles ont un point commun ;$\,$ cette propriété faisait l’objet de la Figure sans Paroles 2.33. Ce point commun aux quatre cercles a en outre la vertu que ses projections orthogonales sur les quatre droites sont quatre points alignés, car ses droites de Simson relatives aux quatre triangles, ayant deux à deux deux points communs, sont confondues.

  Sur la figure 2.34, un cercle en pointillés passe par ce point commun ainsi que par les quatre centres des cercles circonscrits. Je propose ci-dessous deux démonstrations de la cocyclicité de ces cinq points ; la première, par de petites manipulations d’angles de droites, la seconde, en utilisant une inversion.

  Première démonstration (angles de droites). — Les quatre droites sont les trois côtés d’un triangle ABC et une quatrième droite, qui coupe AB en C’, BC en A’ et CA en B’ ; les quatre triangles sont donc ABC, AB’C’, A’B’C et A’BC’. Appelant I le point commun aux quatre cercles circonscrits, il suffit de montrer que I et les centres respectifs O, O’ et $\Omega$ des cercles circonscrits à ABC, AB’C’ et A’B’C sont cocycliques ; et pour cela, de vérifier l’égalité des angles de droites ($\Omega$O,$\Omega$O’) et (IO,IO’).

  Les cercles centrés en $\Omega$ et O ont en commun les points I et C, donc IC est perpendiculaire à $\Omega$O ; et de même, IB’ est perpendiculaire à $\Omega$O’. Ceci permet de remplacer le premier angle ($\Omega$O,$\Omega$O’) par (IC,IB’).

  Quant au second angle (IO,IO’), il peut être décomposé en (IO,OO’) + (OO’,IO’). Mais, les points A et I étant communs aux deux cercles de centres O et O’, la bissectrice intérieure de l’angle $\widehat{\vphantom +\,\,\,\,\,\,}\!\!\!\!\!\!\!$IOA est OO’, donc l’angle de droites (IO,OO’) est la moitié [1] de l’angle de vecteurs ($\vec{\vphantom +\,\,\,\,\,\vphantom +}\!\!\!\!\!\!$OI,$\,\vec{\vphantom +\!\,\,\,\,\,\,\,\,\vphantom +}\!\!\!\!\!\!\!$OA), c’est-à-dire (propriété des angles inscrits dans le cercle centré en O) l’angle de droites (CI,CA). Un argument similaire dans le cercle centré en O’ donne (OO’,IO’) = (B’A,B’I). Ainsi, (IO,IO’) = (CI,CA) + (B’A,B’I) ; il ne reste qu’à remarquer que CA et B’A sont une seule et même droite pour réduire ceci à (IO,IO’) = (CI,B’I), ce qui achève la démonstration.

  Deuxième démonstration (inversion). — Effectuons une inversion de pôle I (et de puissance quelconque), et appelons a, a’, b, b’, c et c’ les inverses des points A, A’, B, B’, C et C’. Échangeant les droites du plan évitant I avec les cercles passant par I, l’inversion transforme les quatre cercles ABCI, AB’C’I, A’B’CI et A’BC’I en quatre nouvelles droites abc, ab’c’, a’b’c et a’bc’ ; elle transforme aussi les quatre droites initiales A’BC, AB’C, ABC’ et A’B’C’ en quatre nouveaux cercles, qui sont circonscrits aux triangles a’bc, ab’c, abc’ et a’b’c’, et qui passent tous quatre par I. On a ainsi un nouvel exemple de notre configuration à quatre droites et quatre cercles, avec le même point$\,$ I que précédemment$\,$ commun aux quatre nouveaux cercles. Les projections de I sur les quatre nouvelles droites sont donc alignées, ainsi que les quatre points symétriques de I par rapport à ces quatre nouvelles droites. Les inverses de ces symétriques sont donc sur un même cercle passant par I ; ces inverses n’étant autres que les centres des anciens cercles, la propriété est établie.

  [1] Ceci a bien un sens, les angles de droites étant définis modulo $\pi$ et les angles de vecteurs modulo $2\pi$.

  Document joint : figure-2-34.jpg
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