Figure sans paroles #2.35

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 2.35

    le 12 septembre à 16:18, par Reine

    Cette figure se présente comme un fouillis de cercles (huit au total : quatre en traits pleins et quatre en pointillés), l’attention étant attirée sur huit points, l’un commun aux quatre cercles en traits pleins, six autres communs à deux cercles en traits pleins et à deux en pointillés, et le huitième commun aux quatre cercles pointillés. Elle illustre la proposition suivante (dont l’énoncé, je le reconnais, n’est guère moins fouillis que la figure) : Soit dans le plan quatre cercles passant tous par un point$\,$ I. Deux quelconques d’entre eux ayant un point d’intersection autre que$\,$ I, cela fournit six points. À chacun des quatre cercles, on peut associer les trois de ces six points qui ne sont pas sur ce cercle, puis tracer un nouveau cercle passant par ces trois points. Ces quatre nouveaux cercles ont un point commun.

    Cette proposition peut être prouvée très simplement, en utilisant une inversion plane de pôle I (et de puissance quelconque). Cette transformation ponctuelle change les cercles passant par I en droites évitant I, et les autres cercles en cercles. Les quatre cercles initiaux deviennent ainsi quatre droites, et la figure inverse de 2.35, qui présente quatre droites en traits pleins et quatre cercles en pointillés, n’est autre que la Figure sans Paroles 2.33 : quatre droites, les quatre triangles ayant leurs côtés sur ces quatre droites, et les quatre cercles circonscrits à ces triangles. Ces quatre cercles ayant toujours un point commun, il en va de même des quatre cercles pointillés de 2.35.

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