Figure sans paroles #3.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 3.7

    le 8 septembre à 14:37, par Reine

    Cette figure illustre la propriété suivante : Étant donné quatre droites dans le plan, les quatre triangles que l’on peut former avec trois de ces droites ont leurs orthocentres alignés.

    Pour démontrer cela, j’utiliserai le critère que voici : Soit$\,$ M, P, Q trois points sur une droite et$\,$ M’, P’, Q’ trois points sur une autre droite parallèle à la précédente, les droites PP’ et$\,$ QQ’ se coupant en un point$\,$ H. La droite$\,$ MM’ passe par$\,$ H si et seulement si les points$\,$ Q et$\,$ Q’ divisent respectivement les segments$\,$ MP et$\,$ M’P’ dans le même rapport, c’est-à-dire si et seulement si la figure formée par les trois points$\,$ M, P, Q et celle formée par$\,$ M’, P’, Q’ sont semblables.

    Revenons à nos quatre droites. Donnons-nous un triangle $ABC$ et une droite $D$, coupant les côtés $BC$ en $A'$, $CA$ en $B'$ et $AB$ en $C'$ ; les quatre droites seront $D$ et les trois côtés du triangle. Je vais montrer l’alignement des orthocentres $H$ de $ABC$, $K$ de $AB'\!C'$ et $L$ de $BA'\!C'$ ; le résultat s’ensuivra aussitôt en permutant les rôles de $B$ et $C$, donc aussi de $B'$ et $C'$.

    Les parallèles à $D$ issues de $B$ et $C$ coupent respectivement $AC$ en un point $\gamma$ et $AB$ en un point $\beta$. Cela permet, outre les trois orthocentres déjà nommés, d’en baptiser trois de plus : appelons $K'$ celui de $AC\gamma$, $K''$ celui de $AB\beta$ et $L'$ celui de $BC\gamma$.

    Remarquons tout d’abord que les points $K$, $K'$ et $K''$ sont alignés, sur la droite issue de $A$ et perpendiculaire à $D$, $C\gamma$ et $B\beta$ ; de même les points $B$, $L$ et $L'$ sont alignés, sur la perpendiculaire abaissée de $B$ sur $D$ et $C\gamma$ ; de plus, ces deux alignements sont parallèles, car orthogonaux à $D$.

    Remarquons ensuite que $H$, $K'$ et $L'$ sont alignés, sur la perpendiculaire à $AB$ passant par $C$, qui est une hauteur dans les triangles $ABC$, $AC\gamma$ et $BC\gamma$. De même, $B$, $H$ et $K''$ sont alignés, sur la hauteur issue de $B$ dans les triangles $ABC$ et $AB\beta$.

    Selon le critère rappelé plus haut, établir l’alignement de$\,$ $H$, $K$ et$\,$ $L$ revient à montrer que les figures $\,(K,K',K'')$ et $\,(L,L',B)$ sont semblables, ou encore que le rapport $\,r=\,\overline{\!K''K'}/\,\overline{\!K''K}$ est égal à $\,\,\overline{\!BL'}/\,\overline{\!BL}$.

    Mais les droites $C'\!K$, $\gamma K'$ et $BK''$ sont parallèles, comme hauteurs perpendiculaires à $AC$ dans les triangles $AC'\!B'$, $AC\gamma$ et $AB\beta$. On en déduit (merci monsieur Thalès !) que $r$ est aussi le rapport $\,\overline{\!B\gamma}/\,\overline{\!BC'}$, qui à son tour n’est autre que le rapport de l’homothétie centrée en $B$ et transformant le triangle $BC\gamma$ en $BA'\!C'$. Il ne reste qu’à observer que, les homothéties préservant l’orthogonalité, l’homothétique de l’orthocentre d’un triangle est toujours l’orthocentre du triangle homothétique ; ainsi, notre homothétie de rapport $r$ transforme $L$ en $L'$, d’où $\,\,\overline{\!BL'}/\,\overline{\!BL}=r$.

    Document joint : figure-3-7.pdf
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