Figure sans paroles #3.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 3.8

    le 1er juin à 08:21, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère complété par E et F. K, L et M sont les milieux des diagonales [AC], [BD] et [EF].
    Il s’agit de prouver l’alignement de K, L et M.
    On pose H et I tels que $\vec {FH}$ = $\vec {CE}$ et $\vec {BI}$ = $\vec {CD}$. G est l’intersection de (FH) et (AB) et J celle de (BI) et (AD).
    $\vec {KL}$ = ½ ($\vec {AB}$ + $\vec {CD}$) = ½ ($\vec {AB}$ + $\vec {BI}$) = ½ $\vec {AI}$ et de même $\vec {KM}$= ½ $\vec {AH}$.
    (ID) // (BF) d’où JI/JB = JD/JF
    (JB) // (DE) // (FG) d’où JD/JF = BE/BG
    (BF) // (EH) d’où BE/BG = FH/FG
    L’égalité JI/JB = FH/FG donne l’alignement A, I et H. $\vec {AI}$ et $\vec {AH}$ sont colinéaires et donc $\vec {KL}$ et $\vec {KM}$ aussi d’où K, L et M sont alignés.

    Document joint : fsp_3.8.jpg
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    • 3.8

      le 4 septembre à 20:35, par Reine

      Cette propriété (les milieux des trois diagonales d’un quadrilatère complet sont toujours alignés) peut aussi être obtenue par une autre méthode, certes moins élégante que la vôtre parce que reposant sur un calcul, mais menant infailliblement au résultat.

      Pardonnez-moi de choisir des notations différant des vôtres ; vous verrez bientôt pourquoi. Partons d’un triangle $ABC$ et d’une droite coupant $BC$ en $A'$, $CA$ en $B'$ et $AB$ en $C'$. Notre quadrilatère complet sera formé des trois côtés du triangle et de la droite $A'\!B'\!C'\!$ ; ses diagonales sont $\,AA'\!$, $\,BB'\!$ et $\,CC'$ ; appelons $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ leurs milieux. Appelons enfin $PQR$ le triangle formé par les trois diagonales : $\,BB'\!$ et $CC'\!$ se coupent en $P$, $\,CC'\!$ et $AA'\!$ en $Q$, $\,AA'\!$ et $BB'\!$ en $R$.

      Le point $A'$ divise le segment $QR$ selon un certain rapport $a=\,\overline{\!A'\!Q}\,/\,\,\overline{\!A'\!R}$. La diagonale $AA'$ étant coupée harmoniquement par les deux autres, $(A,A';Q,R)$ est une division harmonique, et $\,\overline{\!AQ}\,/\,\,\overline{\!AR}$ est donc le rapport opposé $-a$. À partir de ces deux rapports, il est facile de voir que le milieu $\alpha$ de $AA'$ divise $QR$ dans le rapport $a^2$ : il suffit pour cela de réécrire la définition de $a$ en $\,\overline{\!RA'}=1/(1{-}a)\>\,\overline{\!RQ}$, puis de changer $a$ en $-a$ pour avoir $\,\overline{\!RA}=1/(1{+}a)\>\,\overline{\!RQ}$, et enfin d’ajouter membre à membre pour obtenir $2\,\,\overline{\!R\alpha}=2/(1{-}a^2)\>\,\overline{\!RQ}$.

      Il ne reste qu’à introduire de même les rapports $b$ et $c$ selon lesquels $B'$ et $C'$ divisent les segments $RP$ et $PQ$. Partant du triangle $PQR$, Ménélaüs traduit l’alignement de $A'$, $B'$ et $C'$ par $abc=1$ ; on en déduit aussitôt $a^2b^2c^2=1$, que Ménélaüs rétro-traduit en l’alignement de $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$.

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