Figure sans paroles #3.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 3.10

    le 30 août 2021 à 11:46, par Reine

    La figure proposée suggère qu’étant donné un quadrilatère complet, les trois cercles ayant pour diamètres les trois diagonales du quadrilatère complet appartiennent à un même faisceau linéaire de cercles. C’est ce que nous allons établir.
    Appelons pour cela A’, A’’, B’, B’’, C’ et C’’ les six sommets du quadrilatère complet, combinés de sorte que les trois diagonales soient A’A’’, B’B’’ et C’C’’ ; appelons aussi ABC le triangle formé par ces trois diagonales (A étant l’intersection de B’B’’ et C’C’’, etc.) ; appelons enfin $\Gamma$ le cercle circonscrit à ABC, O son centre, et R son rayon.

    Il est classique que chaque diagonale est coupée harmoniquement par les deux autres ; ainsi (A’,A’’,B,C) est une division harmonique, et A’ et A’’ sont donc conjugués par rapport à tout cercle passant par B et C, et en particulier par rapport à $\Gamma$. Ceci revient à dire que $\Gamma$ est orthogonal au cercle de diamètre A’A’’ ; ou encore que la puissance de O par rapport à ce cercle est R${}^2$. Il en va de même pour B’B’’ et C’C’’ : O a même puissance par rapport à nos trois cercles, et se trouve donc sur leurs axes radicaux deux-à-deux.

    On sait par ailleurs (voir en 3.8 la jolie démonstration de Sidonie) que les milieux de A’A’’, B’B’’ et C’C’’ sont alignés.

    Passant par O et étant perpendiculaires à la droite des centres, les axes radicaux deux-à-deux des trois cercles sont tous les mêmes ; les trois cercles font donc partie d’un même faisceau linéaire.

    Remarque. — Sur la figure proposée, les trois cercles ont deux points communs (le faisceau est un faisceau à points de base). Ce n’est pas toujours le cas, et les deux autres types de faisceaux peuvent se présenter. Il est très facile de s’en convaincre, en choisissant arbitrairement quatre points A’, A’’, B’ et B’’ dans le plan, trois quelconques d’entre eux n’étant pas alignés. Notre quadrilatère complet aura pour côtés les quatre droites A’B’, A’B’’, A’’B’ et A’’B’’ ; les segments A’A’’ et B’B’’ en sont deux diagonales. Selon les choix des quatre points, les cercles de diamètres A’A’’ et B’B’’ seront sécants, tangents, ou sans intersection ; on aura ainsi un faisceau à points de base, un faisceau de cercles tangents ou un faisceau à points limites.

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    • 3.10

      le 6 septembre 2021 à 15:38, par Sidonie

      Bonjour Reine, vous résolvez un problème qui m’échappait depuis longtemps et pour cause j’ignorais (oubli ou ignorance) la propriété des cercles orthogonaux liée aux harmoniques que vous m’avez fait découvrir au 6.7.3.

      Bravo quand même pour le cercle gamma.

      Il me semble que la démonstration de cette propriété passe par les propriétés de l’orthocentre, m’abusé-je ?

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      • 3.10

        le 7 septembre 2021 à 15:26, par Reine

        Bonjour Sidonie,

        Votre question me déconcerte : je n’ai jamais vu de démonstration de cette propriété ! Lorsque j’étais élève en classe terminale, l’orthogonalité des deux cercles était prise comme définition$\,$ de la conjugaison de deux points par rapport à un cercle ; il n’était donc évidemment pas question de la démontrer. De cette définition, on déduisait facilement (et sans orthocentres...) que l’ensemble des conjugués d’un point donné est la droite etc. etc.

        Mais pour répondre à votre question, il me faudrait disposer d’une autre définition. Laquelle connaissez-vous ?

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        • 3.10

          le 7 septembre 2021 à 18:35, par Sidonie

          Pour moi, et je m’aperçois de la faiblesse, deux points, l’un à l’intérieur, l’autre à l’extérieur sont conjugués si ils sont en division harmonique avec les intersections de leur droite avec le cercle . De là on définit la polaire ... etc .... La définition que vous donnez est bien plus puissante et universelle. Comme quoi il faut toujours vérifier les définitions et ne pas se contenter de ses souvenirs.

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          • 3.10

            le 9 septembre 2021 à 16:52, par Reine

            Lorsque j’étais élève en math-elle-aime, avant de définir deux points conjugués, on justifiait heuristiquement la future définition en montrant que, lorsque le segment joignant les deux points est sur une sécante au cercle, il est divisé harmoniquement par le cercle si et seulement si ce dernier est orthogonal au cercle ayant le segment pour diamètre. Voici l’argument, tel qu’il nous était présenté.

            Soit donc un cercle $(O,R)$ et deux points $M$ et $N$ tels que la droite $MN$ rencontre le cercle en deux points $P$ et $Q$ ; on appellera $I$ le milieu de $MN$ et $R'$ la distance de $I$ à $M$ et à $N$. Pour que $(M,N,P,Q)$ soit une division harmonique, il faut et il suffit que $IM^2=\,\overline{\!IP}\;\,\overline{\!IQ}$, c’est-à-dire que $R'{}^2$ soit la puissance de $I$ par rapport à $(O,R)$, ce qui s’écrit $R'{}^2=OI^2-R^2$. Pour les deux cercles $(O,R)$ et $(I,R')$, ceci revient à dire que le carré de la distance des centres est la somme des carrés des rayons, et traduit leur orthogonalité.

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