Figure sans paroles #3.14

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 3.14

    le 29 mai à 08:05, par Sidonie

    D appartient au cercle circonscrit au triangle ABC dont H est l’orthocentre. E et F sont les projetés orthogonaux de D sur (AB) et (AC). Il faut prouver que (EF) coupe [DH] en son milieu.
    G est le projeté orthogonal de D sur (BC). I et J sont les symétriques de H et D par rapport à (BC).
    On sait que I est un point du cercle circonscrit.
    Les angles (DE,DF) et (AE,AF) sont égaux ayant leurs côtés perpendiculaires 2 à 2 d’où (DE,DF) = (AB,AC).
    A, B, C et D sont cocycliques donc (AB,AC) = (DB,DC) et (DE,DF) = (DB,DC),
    soit (DB,DC) + (DF,DE) = 0
    Les angles droits en E, F et G font de B,E,D,G et C,D,G,F des points cocycliques.
    (GB,GE) = (DB,DE) = (DB,DC) + (DC,DF) + (DF,DE) = (DC,DF) = (GC,GF) et comme (GB) et (GC) sont confondues (GE) et (GF) le sont aussi : E, F et G sont alignés.
    (HC,HJ) = (ID,IC) comme symétriques par rapport à (BC).
    (ID,IC) = (BD,BC) à cause du cercle circonscrit.
    (BD,BC) = (ED,EF) à cause du cercle passant par B, E, D et G.
    (HC) // (ED) comme perpendiculaires à (AB)
    (HC,HJ) = (ED,EF) donc (HJ) // (EF).
    Dans le triangle HJD (EF) est parallèle au côté (HJ), passe par le milieu G du côté [DJ] donc passe aussi par le milieu du troisième côté [DH].
    Au passage, on retrouve un résultat démontré ailleurs : si 4 points sont cocycliques alors les symétriques de l’un par rapport aux côté du triangle formé par les 3 autres sont alignés avec l’orthocentre du triangle.

    Document joint : fsp_3.14.jpg
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