Figure sans paroles #4.2.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.2.7 préliminaire

    le 24 juin à 17:21, par Sidonie

    H est l’orthocentre du triangle ABC, D est un point quelconque, E, F et G sont les symétriques de D par rapport à (AB), (AC) et (BC).
    3 points parmi E, F, G et H sont alignés si et seulement si D appartient au cercle circonscrit à ABC.
    La condition suffisante est démontrée au 3.14.
    Preuve de la condition nécessaire.
    1er cas : les symétriques E, F et G sont alignés
    Les projetés orthogonaux I, J et K de D sur (AB), (AC) et (BC) sont aussi alignés (homothétie de centre D et de rapport 0,5). A cause des angles droits A I D J, B I D K et C J D K sont cocycliques.
    Nous avons alors les égalités d’angles : (DB,DI) = (KB,KI) = (KC,KJ) = (DC,DJ) et (DI,DJ) = (AI,AJ) = (AB,AC)
    (DB,DC) = (DB,DI) + (DI,DJ) + (DJ, DC) = (DC,DJ) + (AB,AC) + (DJ,DC) = (AB,AC) donc ABCD cocycliques.
    2ème cas : 2 symétriques E et F sont alignés avec l’orthocentre H
    L et M sont les symétriques de H par rapport à (AB) et (AC), qui sont sur le cercle circonscrit.
    Par symétrie on a (DH,DL) = (EL,EH) et (DM,DH) = (FH,FM) en additionnant membre à membre et puisque (EH) = (FH) il vient (DM,DL) = (EL,FM) = (EL,DH) + (DH,FM) = 2(AB,DH) +2(DH,AC) = 2(AB,AC)
    (AM,AL) = (AM,AH) + (AH,AM) = 2(AB,AH) +2 (AH,AC) = 2(AB,AC)
    D’où (AM,AL) = (DM,DL) AMDL sont cocycliques et D est sur le cercle circonscrit

    Document joint : fsp_4.2.7_preliminaire.jpg
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  • 4.2.7

    le 24 juin à 17:22, par Sidonie

    Deux droites perpendiculaires passant par H orthocentre du triangle ABC coupent (AB) en E et F, (AC) en G et F et (BC) en J et I.
    Il s’agit de montrer l’alignement des milieux O, P et Q de [DE], [FG] et [IJ].
    Les cercles de centres O et P passant par D et F se coupent en M qui n’est autre que le point de Miquel du quadrilatère complet ADHF complété par E et G. En fait, je redémontre une propriété connue de ce point.
    On peut remarquer que H est aussi l’orthocentre des triangles rectangles HDE, HFG et HIJ.
    R, K, L et S sont les symétriques de M par rapport à (AE), (EF), (DG) et (AG).
    M est un point du cercle circonscrit à HDE donc, d’après le 3.14, R, K, H et L sont alignés.
    M est un point du cercle circonscrit à HFG donc, d’après le 3.14, S, K, H et L sont alignés.
    Donc les 5 points sont alignés.
    R et S, symétriques de M par rapport aux côtés (AB) et (AC) du triangle ABC sont alignés avec l’orthocentre H donc d’après le préliminaire M appartient au cercle circonscrit du triangle ABC. (Inutile, mais pourquoi s’en priver).
    K et L, symétriques de M par rapport aux côtés (HI) et (HJ) du triangle HIJ sont alignés avec l’orthocentre H donc d’après le préliminaire M appartient au cercle circonscrit du triangle HIJ dont le centre est Q.
    O, P et Q sont les centres de cercles passant par H et M, ils sont donc sur la médiatrice de [HM] et donc alignés.

    Document joint : fsp_4.2.7.jpg
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