Figure sans paroles #4.2.7

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.2.7 préliminaire

    le 24 juin 2021 à 17:21, par Sidonie

    H est l’orthocentre du triangle ABC, D est un point quelconque, E, F et G sont les symétriques de D par rapport à (AB), (AC) et (BC).
    3 points parmi E, F, G et H sont alignés si et seulement si D appartient au cercle circonscrit à ABC.
    La condition suffisante est démontrée au 3.14.
    Preuve de la condition nécessaire.
    1er cas : les symétriques E, F et G sont alignés
    Les projetés orthogonaux I, J et K de D sur (AB), (AC) et (BC) sont aussi alignés (homothétie de centre D et de rapport 0,5). A cause des angles droits A I D J, B I D K et C J D K sont cocycliques.
    Nous avons alors les égalités d’angles : (DB,DI) = (KB,KI) = (KC,KJ) = (DC,DJ) et (DI,DJ) = (AI,AJ) = (AB,AC)
    (DB,DC) = (DB,DI) + (DI,DJ) + (DJ, DC) = (DC,DJ) + (AB,AC) + (DJ,DC) = (AB,AC) donc ABCD cocycliques.
    2ème cas : 2 symétriques E et F sont alignés avec l’orthocentre H
    L et M sont les symétriques de H par rapport à (AB) et (AC), qui sont sur le cercle circonscrit.
    Par symétrie on a (DH,DL) = (EL,EH) et (DM,DH) = (FH,FM) en additionnant membre à membre et puisque (EH) = (FH) il vient (DM,DL) = (EL,FM) = (EL,DH) + (DH,FM) = 2(AB,DH) +2(DH,AC) = 2(AB,AC)
    (AM,AL) = (AM,AH) + (AH,AM) = 2(AB,AH) +2 (AH,AC) = 2(AB,AC)
    D’où (AM,AL) = (DM,DL) AMDL sont cocycliques et D est sur le cercle circonscrit

    Document joint : fsp_4.2.7_preliminaire.jpg
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