Figure sans paroles #4.3.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.3.3

    le 15 février 2020 à 16:24, par Hébu

    Jolie application des résultats sur la puissance !

    Pour ma part, j’avais une solution plus rustique, à base de calculs d’angles ; je note $a, b, c$ les mesures des angles du triangle $ABC$ :

    1/ La droite $OM$ qui joint les centres des deux cercles est perpendiculaire à $CD$, l’axe radical des deux circonférences. Et elle est un axe de symétrie, de sorte que $\widehat{MDO}=\widehat{MCO}$.

    2/Les angles $\widehat{MCJ}$ et $\widehat{MJC}$ qont égaux. Dans le triangle $ACJ$, on a $\widehat{MJC}=\pi-a-\widehat{ACJ}$, et donc $\widehat{ACM}=2\times \widehat{ACJ}\pi$.

    Evidemment $\widehat{ACJ}=\pi/2+c/2$, soit $\widehat{ACM}=a+c$, et donc $\widehat{BCM}=a$.

    Ce qui implique que $CM$ soit tangent au cercle, $\widehat{OCM}=\pi/2$.

    Et comme $OCM$ et $ODM$ ont même valeur, le tour est joué

    .
    Au fond, chacune des preuves s’appuis sur la même idée

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