Figure sans paroles #4.3.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.6

    le 11 septembre à 20:14, par Reine

    Cette Figure presque sans Paroles met en évidence une propriété d’un point situé à la fois sur le cercle circonscrit à un triangle et sur la droite joignant les pieds de deux bissectrices intérieures de celui-ci.

    Oublions tout d’abord les bissectrices, pour établir une propriété générale : si un point est sur le cercle circonscrit à un triangle, ses distances aux trois sommets sont inversement proportionnelles à ses distances aux côtés respectivement opposés.$\,$ Avec les notations de la figure ci-jointe, ceci s’écrit\[PA\,PU = PB\,PV = PC\,PW\,.\]

    Cela se démontre facilement en se rappelant que les projections$\,$ U, V et$\;$ W de$\,$ P sur les côtés sont alignées$\,$ (sur la droite de Simson$\,$ de P, voir la Figure sans Paroles 3.11). En remarquant que U et W (respectivement V et W) sont sur le cercle de diamètre PB (respectivement PA), on a les égalités entre angles orientés de droites (PU,$\,$PB) = (WU,$\,$WB) = (WV,$\,$WA) = (PV,$\,$PA). Les triangles rectangles PBU et PAV sont donc semblables, d’où PA$\,$PU = PB$\,$PV ; l’autre égalité se démontre de même.

    Faisant maintenant intervenir les pieds des bissectrices, il ne reste qu’à se souvenir de la relation PV = PU$\>$+$\>$PW, vue à l’occasion de la Figure sans Paroles 4.3.5 (lorsque AB > AC ; sinon c’est PW = PU$\>$+$\>$PV), pour obtenir la même relation entre les inverses de PA, PB et PC.

    Document joint : figure-4-3-6.pdf
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