Figure sans paroles #4.3.8

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.8

    le 19 septembre à 18:59, par Reine

    Des droites, des bissectrices, un alignement... Tout cela semble promettre de la belle géométrie. Je trouve cependant commode d’aborder cette figure sous un aspect plus algébrique que géométrique, en faisant usage de la distance algébrique$\,$ d’un point M à une droite D : une fois choisi comme « positif » l’un des deux demi-plans limités par D, la distance algébrique d(M) est la distance usuelle, affectée d’un signe plus ou moins selon que M est ou non du côté positif. [1] Si U et V sont deux points distincts dans le plan, pour tout point M de la droite UV on peut obtenir d(M) à partir de d(U) et d(V) par interpolation ou extrapolation linéaire :\[d(M)=\frac{\,\overline{\!MV}}{\,\overline{\!UV}}\cdot d(U)+\frac{\,\overline{\!UM}}{\,\overline{\!UV}}\cdot d(V)\;.\](Figure 1 ci-jointe. Une physicienne présenterait plutôt cela en termes cinématiques : lorsque M décrit dans le plan un mouvement rectiligne uniforme, d(M) varie uniformément.) Si C et D sont deux droites du plan, l’égalité c(M) = d(M) caractérise les points de l’une des deux bissectrices de C et D, l’autre bissectrice étant formée des M tels que c(M) = —$\,$d(M).

    Nous avons ici affaire à un quadrilatère complet, c’est-à-dire quatre droites A, B, C et D et leurs six intersections deux à deux, que je nommerai AB, AC, etc., et qui se groupent en trois paires de sommets opposés, par exemple AB et CD. Pour chacun des six sommets, l’auteur de la figure a retenu l’une des deux bissectrices du quadrilatère en ce point (je l’appellerai la bonne$\,$ bissectrice) ; à chaque paire de sommets opposés est alors associé le point où se coupent les bonnes bissectrices de ces deux sommets. Ces trois points paraissent alignés. D’où cela vient-il ? Et quels critères ont présidé au choix des six bonnes bissectrices ?

    Sur la figure 2, j’appelle P (respectivement Q, R) le point ainsi associé aux sommets AB et CD (respectivement AC et BD, AD et BC). Prenons comme demi-plans positifs ceux qui contiennent P, de sorte que ses distances algébriques a(P), b(P), c(P) et d(P) aux quatre côtés sont positives. C’est également le cas de R, et a(Q) et b(Q) aussi sont positives, seules c(Q) et d(Q) étant négatives.

    La bonne bissectrice de AB, qui passe par P, est caractérisée par la relation a(P) = b(P) ; et l’on a de même cinq autres relations c(P) = d(P), a(Q) = $-\,$c(Q), b(Q) = $-\,$d(Q), a(R) = d(R) et b(R) = c(R), avec un signe moins là où les deux distances ne sont pas de même signe. L’égalité a$\,$+$\,$c = b$\,$+$\,$d, qui est satisfaite par P, par Q et par R, va assurer que ces trois points sont alignés. En effet, par interpolation-extrapolation, cette égalité est vérifiée en tout point de la droite PQ, et en particulier au point R’ où PQ rencontre la bonne bissectrice de AD, formée des points tels que a = d. En ce point, on a donc b = c, c’est pourquoi R’ est aussi situé sur la bonne bissectrice de BC. Finalement R’ = R, d’où l’alignement.

    Et si d’autres bissectrices avaient été choisies ? En AB, par exemple, on aurait pu prendre plutôt la bissectrice telle que a = $-\,$b. Cela amène à introduire un signe plus ou moins, que, faute de mieux, je noterai (AB), et à tenter de prendre pour bonne bissectrice celle formée des points M tels que a(M) = (AB)$\,$b(M). On a ainsi six signes (AB), (AC), etc. (Dans le cas étudié ci-dessus, on a 4 signes plus, (AC) et (BD) seuls étant négatifs.) Reprenant l’argument précédent, on voit que la relation vérifiée tout le long de la droite PQR doit être\[a=(AB)\,b+(AC)\,c+(AD)\,d\;,\]et en la disant satisfaite par P, Q et R on obtient les trois égalités\[\begin{array}{rcl}(AC)\,(CD)\,(AD)\!\!&\!\!\!=\!\!\!&-1\\(AB)\,(BD)\,(AD)\!\!&\!\!\!=\!\!\!&-1\\(AB)\,(BC)\,(AC)\!\!&\!\!\!=\!\!\!&-1\;.\end{array}\]Pour la symétrie, on peut leur adjoindre une quatrième, redondante car obtenue en multipliant les trois premières :\[(BC)\,(CD)\,(BD)=-1\;.\] Lorsque les bonnes bissectrices sont choisies en respectant ces contraintes, P, Q et R sont alignés.

    En se reportant à la figure, on voit pointer l’interprétation géométrique (enfin !) de ces quatre relations. Chacune d’elles est relative à l’un des triangles ayant trois côtés pris parmi les quatre du quadrilatère. Elle dit que les trois bissectrices choisies comme bonnes aux sommets du triangle ne sont pas concourantes,$\,$ c’est-à-dire que l’on a pour ce triangle une bissectrice extérieure et deux bissectrices intérieures, ou trois bissectrices extérieures.$\,$ Finalement, la recette est la suivante. Le quadrilatère complet étant donné, choisir trois sommets alignés (par exemple $\,$ AB, AC et$\,$ AD) et, pour chacun d’eux, fixer arbitrairement comme bonne une des bissectrices. Ceci fait, la bonne bissectrice en$\,$ BC (respectivement$\,$ BD, CD) devra être celle qui ne concourt pas avec celles en$\,$ AB et$\,$ AC (respectivement$\,$ AB et$\,$ AD, AC et$\,$ AD).$\,$ Ainsi, parmi les 2$^6$ = 64 façons de choisir une bissectrice de chacun des six sommets, seules 2$^3$ = 8 aligneront les points P, Q et R.

    Remarque

    En passant, on a établi algébriquement une propriété géométrico-combinatoire des quadrilatères complets. Pourrait-on la démontrer autrement ? En voici l’énoncé. À un quadrilatère complet, on associe les quatre triangles dont les côtés sont portés par ceux du quadrilatère. En chaque sommet du quadrilatère on choisit l’une des bissectrices, de façon que dans trois des triangles, on n’ait pas trois bissectrices convergentes. On a alors automatiquement la même non-convergence dans le quatrième triangle.

    [1Déjà utilisée dans mon commentaire sous la Figure sans Paroles 4.3.5, cette notion pourrait être évitée en recourant à $\,\,\overline{\!HM}$, où $\,H$ est la projection de $\,M$ sur $\,D$ ; le seul intérêt est l’économie du point $\,H$.

    Document joint : figure-4-3-8.pdf
    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques