Figure sans paroles #4.3.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Comentario sobre el artículo

  • 4.3.9

    le 28 de septiembre de 2018 à 16:42, par Hébu

    Problème avec cette figure ! On comprend mal ce que sont les cordes dont les longueurs seraient $a, b, c$. Mais quelle que soit l’interprétation, je ne vois pas où placer ces longueurs pour trouver $c=a+b$ !

    Répondre à ce message
    • 4.3.9

      le 1ro de octubre de 2018 à 18:14, par Aziz El Kacimi

      Bonjour,

      Si je ne me trompe pas, c’est le cercle passant par les pieds
      des bissectrices du triangle qui recoupe chacun des côtés
      en un autre point (qui peut être le pied lui-même). En général,
      ce n’est pas le cercle inscrit dans le triangle (qui est tangent
      aux côtés), situation qu’on rencontre dans le cas équilatéral
      uniquement.

      Cordialement,

      Aziz El Kacimi

      Document joint : figure.10.3.9.pdf
      Répondre à ce message
      • 4.3.9

        le 2 de octubre de 2018 à 12:33, par Hébu

        Oui, effectivement, il ne faut pas se focaliser sur le cercle inscrit. Le dessin 4.3.9 fait apparaître le point de concours des bissectrices, ainsi qu’un cercle qui semble, à vue d’oeil, avoir ce point comme centre. Et je suis tombé dans le piège...

        .

        Je corrige ma figure, et je me penche à nouveau sur cette énigme.

        .

        Merci pour m’avoir ouvert les yeux !

        Cordialement !

        GH

        Répondre à ce message
        • 4.3.9

          le 13 de febrero de 2020 à 17:09, par Sidonie

          Un triangle ABC. Pour faciliter les calculs a = BC, b = AC et c = AB. (AD), (BE) et (CF) sont les bissectrices intérieures de ABC. d = BD, e = CE et f=AF. Le cercle passant par D, E et F recoupent les côtés en G, H et I: DG = x, EH = y et FI =z. Il s’agit donc de démontrer que x + z = y.
          Grace aux pieds des bissectrice on a CD = a-d = $\frac {bd}{c}$, AE = b-e = $\frac {ec}{a}$ et BF = c-f = $\frac {fa}{b}$

          Les puissances de A, B et C par rapport au cercles écrivent 3 égalités:

          $ f^2-fz = (\frac {ec}{a})^2- \frac{ec}{a}.y$ (1)
          $(\frac{fa}{b})^2-\frac{fa}{b}.z = d^2-dx$ (2)
          $(\frac{bd}{c})^2+\frac{bd}{c}.x = e^2-ey$ (3)

          en isolant x, y et z dans le premier membre et en chassant les dénominateurs il vient:

          af²z - aecy = (af)²-(ce)²
          bafz + b²dx = (bd)² - (af)²
          bcdx - c²ey = (ce)² - (bd)²

          En ajoutant les 3 égalités membre à membre et en regroupant les termes en x, y et z il vient:
          af(a+b)z - ce(a+c)y + bd(b+c)z = 0

          Et les 3 coefficients sont égaux à abc. Il suffit d’en calculer un les autres s’obtiennent par permutations autour du triangle.

          Il suffit donc de démontrer que f(a+b) = bc ou avec les notations en point : AF(BC+AC)=AB.AC

          AF(BC+AC) = AF.BC+ AF.AC = BF.AC + AF.AC =(BF+AF)AC = AB.AC

          Répondre à ce message
          • 4.3.9

            le 13 de febrero de 2020 à 17:10, par Sidonie

            Figure oubliée

            Document joint : fsp_4.3.9.jpg
            Répondre à ce message
            • 4.3.9

              le 14 de febrero de 2020 à 15:02, par Hébu

              J’en profite pour poster une solution du 4.3.5, que j’avais laissée dormir. On va bien finir par les avoir toutes!

              Répondre à ce message
          • 4.3.9

            le 14 de febrero de 2020 à 14:22, par Hébu

            Jolie prouesse ! Bravo !

            Répondre à ce message
    • 4.3.9

      le 1ro de octubre de 2018 à 18:18, par Aziz El Kacimi

      Suite : cas isocèle !

      Document joint : figure.10.3.9v1.pdf
      Répondre à ce message
    • 4.3.9

      le 1ro de octubre de 2018 à 18:20, par Aziz El Kacimi

      Suite : cas équilatéral !

      Document joint : equilateral.pdf
      Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

Tribuna

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.