Commentaire sur l'article

• 4.3.9

  le 28 septembre 2018 à 16:42, par Hébu

  Problème avec cette figure ! On comprend mal ce que sont les cordes dont les longueurs seraient $a, b, c$. Mais quelle que soit l’interprétation, je ne vois pas où placer ces longueurs pour trouver $c=a+b$ !

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• 4.3.9

  le 1er octobre 2018 à 18:14, par Aziz El Kacimi

  Bonjour,

  Si je ne me trompe pas, c’est le cercle passant par les pieds
  des bissectrices du triangle qui recoupe chacun des côtés
  en un autre point (qui peut être le pied lui-même). En général,
  ce n’est pas le cercle inscrit dans le triangle (qui est tangent
  aux côtés), situation qu’on rencontre dans le cas équilatéral
  uniquement.

  Cordialement,

  Aziz El Kacimi

  Document joint : figure.10.3.9.pdf
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• 4.3.9

  le 2 octobre 2018 à 12:33, par Hébu

  Oui, effectivement, il ne faut pas se focaliser sur le cercle inscrit. Le dessin 4.3.9 fait apparaître le point de concours des bissectrices, ainsi qu’un cercle qui semble, à vue d’oeil, avoir ce point comme centre. Et je suis tombé dans le piège...

  .

  Je corrige ma figure, et je me penche à nouveau sur cette énigme.

  .

  Merci pour m’avoir ouvert les yeux !

  Cordialement !

  GH

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• 4.3.9

  le 13 février 2020 à 17:09, par Sidonie

  Un triangle ABC. Pour faciliter les calculs a = BC, b = AC et c = AB. (AD), (BE) et (CF) sont les bissectrices intérieures de ABC. d = BD, e = CE et f=AF. Le cercle passant par D, E et F recoupent les côtés en G, H et I : DG = x, EH = y et FI =z. Il s’agit donc de démontrer que x + z = y.
  Grace aux pieds des bissectrice on a CD = a-d = $\frac {bd}{c}$, AE = b-e = $\frac {ec}{a}$ et BF = c-f = $\frac {fa}{b}$

  Les puissances de A, B et C par rapport au cercles écrivent 3 égalités :

  $ f^2-fz = (\frac {ec}{a})^2- \frac{ec}{a}.y$ (1)
  $(\frac{fa}{b})^2-\frac{fa}{b}.z = d^2-dx$ (2)
  $(\frac{bd}{c})^2+\frac{bd}{c}.x = e^2-ey$ (3)

  en isolant x, y et z dans le premier membre et en chassant les dénominateurs il vient :

  af²z - aecy = (af)²-(ce)²
  bafz + b²dx = (bd)² - (af)²
  bcdx - c²ey = (ce)² - (bd)²

  En ajoutant les 3 égalités membre à membre et en regroupant les termes en x, y et z il vient :
  af(a+b)z - ce(a+c)y + bd(b+c)z = 0

  Et les 3 coefficients sont égaux à abc. Il suffit d’en calculer un les autres s’obtiennent par permutations autour du triangle.

  Il suffit donc de démontrer que f(a+b) = bc ou avec les notations en point : AF(BC+AC)=AB.AC

  AF(BC+AC) = AF.BC+ AF.AC = BF.AC + AF.AC =(BF+AF)AC = AB.AC

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• 4.3.9

  le 13 février 2020 à 17:10, par Sidonie

  Figure oubliée

  Document joint : fsp_4.3.9.jpg
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• 4.3.9

  le 14 février 2020 à 15:02, par Hébu

  J’en profite pour poster une solution du 4.3.5, que j’avais laissée dormir. On va bien finir par les avoir toutes !

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• 4.3.9

  le 14 février 2020 à 14:22, par Hébu

  Jolie prouesse ! Bravo !

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• 4.3.9

  le 1er octobre 2018 à 18:18, par Aziz El Kacimi

  Suite : cas isocèle !

  Document joint : figure.10.3.9v1.pdf
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• 4.3.9

  le 1er octobre 2018 à 18:20, par Aziz El Kacimi

  Suite : cas équilatéral !

  Document joint : equilateral.pdf
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