Figure sans paroles #4.3.9

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre d’Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

À vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

Voir tous les messages - Retourner à l'article

  • 4.3.9

    le 13 février 2020 à 17:09, par Sidonie

    Un triangle ABC. Pour faciliter les calculs a = BC, b = AC et c = AB. (AD), (BE) et (CF) sont les bissectrices intérieures de ABC. d = BD, e = CE et f=AF. Le cercle passant par D, E et F recoupent les côtés en G, H et I : DG = x, EH = y et FI =z. Il s’agit donc de démontrer que x + z = y.
    Grace aux pieds des bissectrice on a CD = a-d = $\frac {bd}{c}$, AE = b-e = $\frac {ec}{a}$ et BF = c-f = $\frac {fa}{b}$

    Les puissances de A, B et C par rapport au cercles écrivent 3 égalités :

    $ f^2-fz = (\frac {ec}{a})^2- \frac{ec}{a}.y$ (1)
    $(\frac{fa}{b})^2-\frac{fa}{b}.z = d^2-dx$ (2)
    $(\frac{bd}{c})^2+\frac{bd}{c}.x = e^2-ey$ (3)

    en isolant x, y et z dans le premier membre et en chassant les dénominateurs il vient :

    af²z - aecy = (af)²-(ce)²
    bafz + b²dx = (bd)² - (af)²
    bcdx - c²ey = (ce)² - (bd)²

    En ajoutant les 3 égalités membre à membre et en regroupant les termes en x, y et z il vient :
    af(a+b)z - ce(a+c)y + bd(b+c)z = 0

    Et les 3 coefficients sont égaux à abc. Il suffit d’en calculer un les autres s’obtiennent par permutations autour du triangle.

    Il suffit donc de démontrer que f(a+b) = bc ou avec les notations en point : AF(BC+AC)=AB.AC

    AF(BC+AC) = AF.BC+ AF.AC = BF.AC + AF.AC =(BF+AF)AC = AB.AC

    Répondre à ce message

Laisser un commentaire

Forum sur abonnement

Pour participer à ce forum, vous devez vous enregistrer au préalable. Merci d’indiquer ci-dessous l’identifiant personnel qui vous a été fourni. Si vous n’êtes pas enregistré, vous devez vous inscrire.

Connexions’inscriremot de passe oublié ?

Ressources pédagogiques