Figure sans paroles #4.3.17

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.3.17

    le 23 mai 2020 à 23:07, par Sidonie

    Vous n’avez aucune erreur, donc le bonnet d’âne ne vous convient pas, par contre je peux remettre ce qui me reste de chevelure libre au vent.
    J’ajoute F et J les centres des cercles et O le centre du cercle inscrit dans ABC. P projeté orthogonal de O sur (BC). R,T,U milieux de [OJ],[EI],[EC]. S centre du cercle E,G,I
    On calcule quelques bras des tangentes :
    DE = $\frac 1 2$(AD + BD – AB)
    DI = $\frac 1 2 $(AC +CD − AD)
    EI = DE + DI = $\frac 1 2$(AC + BC – AB) = CP et en enlevant PI il vient CI = EP et U milieu de [IP]
    (OC) et (JC) sont les bissectrices en C donc (OC)$\bot$((JC) et (AL) tangente au cercle de centre J donne (AL)$\bot $(JL) et donc O,C,J et L appartiennent à un cercle de centre R. La projection orthogonale de (ON) sur (PI) envoie R sur U donc E et C sont symétriques par rapport au diamètre (RU) , C appartenant au cercle, E aussi.
    ON a (ST)$\bot$(EI) diamètre passant par le milieu d’une corde.
    La projection parallèlement à (ME) de (EI) sur (FJ) envoie T milieu de [EI] sur S qui est donc le milieu de [FJ] et alors (RS)//(OF).
    Les cercles de centres R et S passent par E et L donc (RS)$\bot$(EL)
    (OF) est la bissectrice intérieure issue de B du triangle ABC donc (OF)$\bot$(HE)
    D’où (HE)//(EL) et donc confondues ayant un point commun.
    Ma démonstration précédente donne aussi l’alignement G,I,K

    Document joint : fsp_4.3.17_corrige.jpg
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