Figure sans paroles #4.3.18

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.3.18

    le 27 avril à 23:53, par Sidonie

    I est le centre du cercle inscrit du triangle ABC. D, E et F sont les points de contacts. N et M sont les pieds des bissectrices issues de B et C, P et O les pieds des hauteurs.
    Il s’agit de montrer que les droites ((EF), (MN) et (OP) sont concourantes.
    K est l’intersection entre (AB) et la parallèle à (DF) passant par C. H est le milieu de [CK], il appartient à la bissectrice (BM) et au cercle de diamètre [BC], comme O et P.
    J est l’intersection entre (DF) et (AC). G est le point de concours de (AD), (BE) et (CF)
    (Les égalités AE = AF, BF = BD et CD = CE et le théorème de Ceva prouvent l’existence de G)
    Dans le quadrilatère DGFB complété par A et C, la diagonale (AC) est coupée en E et J par les diagonales (BG) et (DF) donc E et J divisent harmoniquement A et C.
    Les droites (FD), (FE) et (FA), (FC) forment un faisceau harmonique. (CK) étant parallèle à (FD),(FE) coupe [CK] en son milieu H .
    On obtient un résultat : l’intersection d’une bissectrice issue de B avec la droite passant par les points de contact avec (AB) et (AC) appartient au cercle de diamètre [BC].
    Un autre résultat surprenant mais inutile ici : I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC. H et K sont les projections orthogonales de A et C sur (BI) alors (AH) est la polaire de K par rapport au cercle inscrit et réciproquement.
    $\widehat {HPC}$ = $\widehat {HBC}$ = $\frac 1 2$ $\widehat {ABC}$ or $\widehat {ABC}$ = $\widehat {APO}$ donc (PH) est une bissectrice de $\widehat {APO}$
    La même démonstration côté L donne que (PH) et (OL) se coupent sur (AI) (3ème bissectrice de APO)
    Les triangles NLO et MHP ont leurs côtés correspondants qui ont des intersections alignés sur (AI), ils vérifient les hypothèses du théorème de Desargues et donc les droites (NM), (LH) = (FE) et (OP) sont concourantes.

    Document joint : fsp_4.3.18.jpg
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