Figure sans paroles #4.3.22

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.3.22

    le 15 août 2020 à 23:32, par Sidonie

    Dans le triangle ABC, E et F sont les pieds des hauteur issues de C et B . H est l’orthocentre. O est le milieu de [AH] , M est le milieu de [BC] et I est l’intersection des bissectrices de $\widehat {EBF}$ et de $\widehat {ECF}$.
    Il s’agit de prouver l’alignement M,O et I.
    Le cercle de centre M passant par B passe par C,E et F.
    Le cercle de centre O passant par A passe par H,E et F.
    Le calcul suivant est en angles orientés de droites.
    (BI,CI) = (BI,BA) + (BA,CA) + (CA,CI) = $\frac 1 2$(BF,BA)+ $\frac 1 2$(BA,CA) +$\frac 1 2$(BA,CA) + $\frac 1 2$(CA,CE) =
    $\frac 1 2$(BF,CA) + $\frac 1 2$(BA,CE) =$\frac {\pi}{2}$ donc I appartient au cercle de centre M
    La bissectrice en B du triangle EBF coupe son cercle circonscrit en I qui est donc un point de la médiatrice de [EF] qui n’est autre que (OM)

    Document joint : fsp_4.3.22.jpg
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