Figure sans paroles #4.5.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.5.6

    le 16 mai 2020 à 12:42, par Sidonie

    Je donne ma solution au format PDF

    Document joint : fsp_4.5.6.pdf
    Répondre à ce message
  • 4.5.6

    le 17 août à 17:03, par Reine

    Tout comme pour 4.5.5 et 2.8, il est visible a priori que des considérations barycentriques mèneront au but sans difficulté (mais sans surprise et aussi, hélas, sans plaisir).

    J.-J. Rousseau

    Je n’aimais point cette manière d’opérer sans voir ce qu’on fait, et il me semblait que résoudre un problème de géométrie par les équations, c’était jouer un air en tournant une manivelle (Les Confessions, livre sixième).

    Puisque les longueurs $BE$ et $EC$ ainsi que $BH$ et $HC$ s’expriment simplement en fonction des éléments du triangle, on peut écrire $E$ et $H$ comme barycentres de $B$ et $C$ et obtenir ainsi $\vec{IE}$ et $\vec{IH}$ comme combinaisons de $\vec{IB}$ et $\vec{IC}$. Et en écrivant $I$ comme barycentre de $A$, $B$ et $C$, on récupère $\vec{IA}$ comme combinaison de $\vec{IB}$ et $\vec{IC}$ ; vérifier que $\vec{IA}+\vec{IH}$ est un multiple de $\vec{IE}$ est alors un jeu d’enfant. L’autre alignement se traite de même.

    Concrètement, $\vec{IA}$ est donné par $a\,\vec{IA}+b\,\vec{IB}+c\,\vec{IC}=\vec0$. (C’est bien connu, et facile : les coefficients affectés à $B$ et $C$ dans l’écriture de $I$ comme barycentre de $A$, $B$ et $C$ sont proportionnels à $b$ et $c$ car la bissectrice intérieure de l’angle $A$ divise $BC$ proportionnellement à $b$ et $c$, etc.). De même, $-a\,\vec{JA}+b\,\vec{JB}+c\,\vec{JC}=\vec0$.

    Puisque $BH=c\,\cos B$ et $CH=b\,\cos C$, ils sont entre eux comme $2ac\,\cos B$ et $2ab\,\cos C$, c’est-à-dire $a^2{-}\,b^2{+}\,c^2$ et $a^2{+}\,b^2{-}\,c^2$ ; d’où $2a^2\vec{IH}=(a^2{+}\,b^2{-}\,c^2)\,\vec{IB}+(a^2{-}\,b^2{+}\,c^2)\,\vec{IC}$. En ajoutant $\vec {IA}$ à $\vec{IH}$, on trouve $a^2\,\vec{IM}=-(p{-}a)(p{-}b)\,\vec{IB}-(p{-}a)(p{-}c)\,\vec{IC}$.

    Mais par ailleurs, $BE=p-c$ et $CE=p-b$ fournissent $a\,\vec{IE}=(p{-}b)\,\vec{IB}+(p{-}c)\,\vec{IC}$, d’où finalement
    $a\,\vec{IM}=-(p{-}a)\,\vec{IE}$.

    Comme vous voyez, mes calculs sont essentiellement les mêmes que les vôtres ; la seule nuance est qu’au fond, alors que vous les menez dans des coordonnées horizontale et verticale, j’utilise le repère $(\vec{IB},\vec{IC})$.

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