Figure sans paroles #4.5.33

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.5.33

    le 3 janvier à 15:35, par Sidonie

    E,F et G sont les points de contact du cercle inscrit de centre I dans le triangle ABC.
    Les cercles sont notés en minuscule comme leur centre en majuscule.
    D est un point de [BC]. L, M et N ainsi que O,P et Q sont les points de contacts des cercles de centres K et J inscrits dans les triangles BAD et CAD. (JK) et (BC) se coupent en H. De H on trace la deuxième tangente commune aux cercles j et k. Elle coupe (AD) en R.
    Il s’agit de montrer que AG = AF = AR.
    AF = AG est immédiat en tant que bras de tangentes issues du même point. De même GN = LE en tant que bras de tangente communes à i et k
    Dans le triangle ABC les longueurs des bras de tangentes CE et CF sont données par (ACAB)/2.
    Dans le triangle ACD : CO = CP = (AC + CD - AD)/2
    OE = CE – CO = (AC + BC - AB - AC - CD + AD)/2 = (AD + BD - AB) qui est justement la longueur du bras de tangente DL dans le triangle ABD donc OE = DL et par suite LE = DO.
    DO = DQ (bras de tangentes de D vers j)
    k et j sont les cercles inscrit et exinscrit du triangle DRH donc DM = QR et DQ =MR, en résumé GN = MR
    En tant que bras de tangentes de A vers k AM = AN et donc AG = AN – GN = AM – MR = AR (CQFD)

    Document joint : fsp_4.5.33.jpg
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