Figure sans paroles #4.5.38

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.5.38

    le 20 décembre 2020 à 17:05, par Hébu

    deux cercles, de centres $A$ et $B$, leurs tangentes extérieures $(d)$ et $(d')$. Un point $C$ sur $(d)$, à partir duquel sont menées deux autres tangentes aux cercles $(A)$ et $(B)$. La tangente à $(A)$, $(e)$, va couper $(d')$ en $D$, la tangente à $(B)$, $(f)$ en $E$.

    Un troisième cercle, centre $F$, sera tangent à $(e)$, $(f)$ et $(d')$.

    Alors, les points $A, C, B, F$ sont cocycliques.

    .
    Les points $F$ et $A$ sont les centres des cercles tangents aux droites $(e)$ et $(f)$, ce qui implique l’alignement de $A,D,F$ ($D$ est le centre de l’homothétie qui les relie). Même chose, côté $F,B,E$ qui sont eux aussi alignés.

    .
    On calcule les angles $\widehat{CAF}$ et $\widehat{CBF}$, et on montre qu’ils sont supplémentaires.

    J’appelle $P$ le point d’intersection des droites $d$ et $d'$ et je note $w$ l’angle $(d,d')$.

    Dans le triangle $PCD$, l’angle $\widehat{CAD}$ s’écrit $\pi-(\widehat{C}+\widehat{D})/2$, soit $\widehat{CAD}=\pi/2+w/2$

    Dans le triangle $PCE$, $B$ est le centre du cercle exinscrit, et $\widehat{EBC}=\pi-\widehat{BEC}-\widehat{BCE}=\pi-(\widehat{HEC}+\widehat{KCE})/2$. Et $\widehat{HEC}+\widehat{KCE}=2\pi-(\widehat{PEC}+\widehat{PCE})=\pi+w$.

    .

    De sorte que finalement $\widehat{EBC}=\pi/2+w/2$, et $\widehat{CAD}+\widehat{EBC}=\widehat{FAD}+\widehat{FBC}=\pi$ : les points $F,A,C,B$ sont cocycliques.

    .

    Document joint : idm4-5-38.jpg
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