Figure sans paroles #4.6.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.6.3

    le 26 novembre 2020 à 23:51, par Sidonie

    O et I sont les centres des cercles circonscrits et inscrit de rayon R et r du triangle ABC. On pose OI = d.
    La perpendiculaire à (OI) coupe le cercle inscrit en D et E, à leur tour centres de deux cercles passant par I.
    On considère l’inversion de centre I qui laisse le cercle inscrit invariant.
    Les images des cercles de centres D et E sont deux droites parallèles passant par les points d’intersection avec le cercle inscrit. Ayant tous le même rayon la distance entre ces 2 droites est r.
    Les images des côtés du triangle sont 3 cercles passant par I et tangent au cercle inscrit. Leur diamètre est donc r.
    Les images de A, B et C sont A’, B’ et C’ intersections différentes de I entre ces 3 cercles pris 2 à 2.
    L’image du cercle circonscrit est donc le cercle passant par A’, B’ et C’.
    Les médiatrices de [A’I], [B’I] et [C’I] forment un triangle dont les sommets sont les centres des cercles images des côtés et I le centre du cercle circonscrit de diamètre r. Soit H l’orthocentre du triangle ainsi formé et H’ son symétrique par rapport à la médiatrice de [A’I] dont on sait qu’il appartient au cercle circonscrit. Le symétrique de A’ est I donc HA’ = IH’. En reprenant la démonstration avec les 2 autres médiatrices on obtient H centre du cercle (A’B’C’) de diamètre r. Ce cercle étant l’image du cercle (ABC) son centre est sur la droite (OI) parallèle aux 2 droites images. Le diamètre étant égal à la distance entre les 2 parallèles et son centre situé à égale distance, les 2 droites sont tangentes au cercle et refaisant l’inversion il vient que les cercles de centres D et E sont tangents au cercle (ABC).
    Soit F le point de tangence du cercle de centre D. On a R = OF = OD + DF = OD + r et donc OD = R – r.
    Le triangle OID est rectangle donc OD² = OI² + ID² = (R-r)² = d² + r²
    d² = R²- 2rR +r² - r² = R² - 2rR

    Document joint : fsp_4.6.3.jpg
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