Figure sans paroles #4.7.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.7.1

    le 3 octobre 2020 à 21:34, par Hébu

    La preuve précédente était basée sur le théorème de Pascal — << l’hexagramme mystique >>. Par la suite, mes cogitations autour des figures 6.1.1, 6.1.2, etc. me font proposer une autre preuve, qui s’appuie sur l’homothétie mise en oeuvre dans ces figures.

    .
    Pour rappel : Un triangle $ABC$, son cercle circonscrit $(c)$, et un second cercle $(c')$, tangent à $AB$ et $AC$ en $E, F$ et tangent intérieurement au cercle circonscrit en un point $G$ sur l’arc $BC$.

    Il faut établir que le milieu du segment $EF$ est centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$.

    .
    On note
    $M, N$ les intersections de $(GF), (GE)$ avec le cercle circonscrit. $O$ le centre du cercle circonscrit $(c)$, $P$ celui du cercle intérieur $(c')$.

    L’homothétie de centre $G$ qui envoie $(c')$ sur $(c)$ fait de $OM$ la médiatrice de $AC$, de $ON$ celle de $AB$. Ainsi les arcs $AN$ et $BN$ sont égaux, de même que $AM$ et $CM$ ; $CN, BM$ sont donc les bissectrices des angles en $C$ et $B$ du triangle $ABC$.

    Elle fait aussi de l’arc $GN$ l’image de l’arc $GE$, d’où on déduit l’égalité des angles $\widehat{GFE}$ et $\widehat{GCN}$ (1) ; de même $\widehat{GEF}=\widehat{GBM}$ (2).

    A cet endroit, j’introduis le point $D$, intersection de $EF$ et $CN$.

    .

    Conséquence de l’égalité (1) : le point $F$ se trouve sur la circonférence qui passe par $G, C, D$ (c’est à dire, les quatre points sont cocycliques).

    On a aussi : $\widehat{EDG}=\pi-\widehat{GDF}=\widehat{FCG}=\widehat{ACG}=\pi-\widehat{ABG}$, soit $\widehat{EDG}+\widehat{EBG}=\pi$ : les points $B,E,D,G$, sont eux aussi cocycliques, et $\widehat{GEF}=\widehat{GBD}$ (3).

    Et si on rapproche (2) et (3), $\widehat{GBD}=\widehat{GBM}$ : les points $B, D, M$ sont alignés, c’est à dire que $BD$ est bissectrice de l’angle $B$ et $D$ est le centre du cercle inscrit dans le triangle $ABC$. Il est donc bien sur $EF$, et forcément au milieu.

    .
    Alors, pas forcément plus court que le précédent, mais sans appel de l’hexagramme mystique ...

    Document joint : idm4-7-1bis.jpg
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