Figure sans paroles #4.7.19

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.7.19

    le 16 mai à 19:22, par Reine

    En réalité, cette figure est double : on y voit deux cercles $C_1$ et $C_2$ et leurs tangentes communes intérieures,$\,$ et un troisième cercle $C$, tangent à $C_1$ et $C_2$, figuré dans deux positions différentes selon que $C_1$ et $C_2$ lui sont tangents intérieurement ou extérieurement. Dans les deux cas, les quatre points d’intersection de $C$ avec les deux tangentes communes intérieures$\,$ à $C_1$ et $C_2$ permettent de tracer deux droites parallèles aux deux tangentes communes extérieures$\,$ à $C_1$ et $C_2$.

    Pour démontrer ces parallélismes, je m’appuierai sur les résultats établis à propos de la Figure sans Paroles 4.7.17, pour laquelle j’avais considéré sept cas de figure, que je reprendrai ici (figures jointes). Les cas 1 et 2 ont trait à la situation qui nous est proposée, les cinq nouveaux cas (numérotés 3 à 7) se présentent lorsque $C_1$ est tangent intérieurement à $C$, et $C_2$ extérieurement.

    Dans chaque cas, j’ai tracé (en noir) deux tangentes communes à $C_1$ et $C_2$ (intérieures dans les cas 1 et 2, extérieures dans les autres cas), dont les intersections avec $C$ fournissent des points $I$ et $J$ ; j’ai aussi placé un point $M$, commun à $C$ et à l’axe radical de $C_1$ et $C_2$.
    Chaque fois, $I$, $J$ et $M$ ont été choisis de façon que ${MI=MJ}$ (voir 4.7.17) ; la droite $IJ$ (tracée en vert) est donc parallèle à la tangente en $M$ à $C$ (en bleu).

    Mais, $M$ ayant même puissance $p$ par rapport à $C_1$ et $C_2$, ces deux cercles sont respectés par l’inversion de pôle $M$ et de puissance $p$ ; l’inverse du cercle $C$ est alors une certaine droite (tracée en rouge), qui doit être d’une part tangente à $C_1$ et $C_2$ (car $C$ l’est), et d’autre part parallèle à la tangente bleue à $C$ au point $M$. Ainsi, les droites rouge et verte sont parallèles.

    Document joint : figure-4-7-19.pdf
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