Figure sans paroles #4.9.13

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.9.13

    le 10 novembre à 15:32, par Reine

    Cette figure peut être considérée comme une suite des deux précédentes, les Figures sans Paroles 4.9.11 et 4.9.12. On part de la même situation : un triangle $ABC$, deux points $A_1$ et $A_2$ (respectivement $B_1$ et $B_2$, $C_1$ et $C_2$) sur la droite $BC$ (respectivement $C\!A$, $AB$), symétriques par rapport au milieu du côté correspondant. Les triangles $A_1B_1C_1$ et $A_2B_2C_2$ se rencontrent en six [1] points $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\alpha'$, $\beta'$ et $\gamma'$. On a vu en 4.9.11 que les droites $A\alpha$, $B\beta$ et $C\gamma$ sont concourantes, et en 4.9.12 que $A\alpha'$, $B\beta'$ et $C\gamma'$ le sont également. Cette figure-ci illustre la concurrence de $\alpha\alpha'$, $\beta\beta'$ et $\gamma\gamma'$.

    Voici comment on peut démontrer cette propriété. Introduisons trois nouveaux points : l’intersection $I$ de $A_2B_2$ et $C_1A_1$, l’intersection $J$ de $B_2C_2$ et $A_1B_1$, et l’intersection $K$ de $C_2A_2$ et $B_1C_1$. Nous avons ainsi six alignements : $I\gamma'\beta$, $I\beta'\gamma$, $J\alpha'\gamma$, $J\gamma'\alpha$, $K\beta'\alpha$ et $K\alpha'\beta$. Cela nous met dans la situation étudiée à propos de la Figure sans Paroles 4.9.10, $I$, $J$ et $K$ jouant les rôles de $A$, $B$ et $C$, $\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ ceux de $A''$, $B''$ et $C''$, et $\alpha'$, $\beta'$ et $\gamma'$ ceux de $A'$, $B'$ et $C'$. Il a été montré que, vu ces six alignements, pour prouver que $\,\alpha\alpha'$, $\beta\beta'$ et $\,\gamma\gamma'$ sont concourantes, il suffit d’établir que $\,I\alpha'$, $J\beta'$ et $\,K\gamma'$ le sont. Mais nous savons déjà que $A\alpha'$, $B\beta'$ et $C\gamma'$ le sont ; pour achever la démonstration, nous allons voir que ces trois dernières droites ne sont autres que $I\alpha'$, $J\beta'$ et $\,K\gamma'$.

    Il reste donc à vérifier que $I$, $A$ et $\alpha'$ sont alignés. Je recourrai, sans les rappeler, aux notations et outils déjà utilisés dans mes commentaires des Figures sans Paroles 4.9.11 et 4.9.12.

    Selon la formule établie en 4.9.11, la droite $A\alpha'$ coupe $BC$ selon le rapport\[k_1=-\;\frac{f(A,B_1,B_4,C)}{f(A,C_2,C_3,B)}\]et la droite $AI$ le coupe selon\[k_2=-\;\frac{f(A,B_2,B_3,C)}{f(A,C_1,C_4,B)}\;,\]où, pour quatre points alignés $O$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$, on a posé
    \[f(O,M_1,M_2,M_3)=\frac{\,\overline{\!OM_1\!\!}\,\;\;\,\overline{\!OM_2\!\!}\,}{\,\overline{\!OM_3\!\!}\,\,\;\,\overline{\!M_1M_2\!\!}\,\,}\;.\]

    Nous devons vérifier que $k_1=k_2$. À cet effet, comparons d’abord les numérateurs :\[\frac{\mathrm{num}(k_1)}{\mathrm{num}(k_2)}=\frac{\,\,\overline{\!\!AB_1\!\!}\,\,}{\,\,\overline{\!\!AB_2\!\!}\,\,}\times\frac{\,\,\overline{\!\!AB_4\!\!}\,\,}{\,\,\overline{\!\!AB_3\!\!}\,\,}\times\frac{\,\overline{\!B_2B_3\!\!}\,\,}{\,\overline{\!B_1B_4\!}\,}\;.\]
    Le premier facteur, ${\,\,\overline{\!\!AB_1\!\!}\,\,}/{\,\,\overline{\!\!AB_2\!\!}\,\,}$, se réécrit $-{\,\overline{\!B_1A\!}\,}/{\,\overline{\!B_1C\!}\,}$. Par symétrie de $B_3$ et $B_4$ (voyez 4.9.12), le second, ${\,\,\overline{\!\!AB_4\!\!}\,\,}/{\,\,\overline{\!\!AB_3\!\!}\,\,}$, vaut $-{\,\overline{\!B_3C\!}\,}/{\,\overline{\!B_3A\!}\,}$ ; et l’alignement $B_3C_1A_1$ permet, via Ménélaüs, de le réexprimer comme $\bigl({\,\,\overline{\!\!A_1C\!}\,}/{\,\,\overline{\!\!A_1B\!}\,}\bigr)\times\bigl({\,\overline{\!C_1B\!}\,}/{\,\overline{\!C_1A\!}\,}\bigr)$. Enfin, par symétrie, ${\,\overline{\!B_2B_3\!\!}\,\,}/{\,\overline{\!B_1B_4\!}\,}=-1$. Mettant tout ça ensemble,
    \[\frac{\mathrm{num}(k_1)}{\mathrm{num}(k_2)}=-\;\frac{\,\,\overline{\!\!A_1C\!}\,}{\,\,\overline{\!\!A_1B\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!B_1A\!}\,}{\,\overline{\!B_1C\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!C_1B\!}\,}{\,\overline{\!C_1A\!}\,}\;.\]Un échange convenable entre les $B$ et les $C$ et entre $A_1$ et $A_2$ donne maintenant le rapport entre les dénominateurs : il vaut
    \[\frac{\mathrm{d\acute{e}n}(k_1)}{\mathrm{d\acute{e}n}(k_2)}=-\;\frac{\,\,\overline{\!\!A_2B\!}\,}{\,\,\overline{\!\!A_2C\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!B_2C\!}\,}{\,\overline{\!B_2A\!}\,}\times\frac{\,\overline{\!C_2A\!}\,}{\,\overline{\!C_2B\!}\,}\;,\]et l’égalité entre ces deux rapports résulte aussitôt des symétries sur les trois côtés.

    [1Il y a bien sûr $3\times3=9$ points d’intersection ; nous rencontrerons très bientôt les trois autres.

    Document joint : figure-4-9-13.pdf
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