Figure sans paroles #4.9.15

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 4.9.15

    le 7 mai 2018 à 14:27, par Hébu

    Que comprendre, ici ? Faut-il simplement remarquer qu’on se trouve en présence du théorème de Céva ? Mais ce théorème a constitué l’outil privilégié d’analyse de quelques-unes des figures passées (4.9.3, 4.4.3, par exemple, et sûrement d’autres aussi).

    Ou alors, c’est une sorte de synthèse de toutes les précédentes ?

    Aurait-il fallu aborder ces figures en « ignorant » ce résultat ? En fait, c’est la logique de l’auteur du livre qui m’apparaît soudain incompréhensible (mais je suis prêt à avouer mes faiblesses)

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    • 4.9.15

      le 20 septembre à 12:19, par Hébu

      Il existe probablement une foultitude de preuves de ce théorème... J’ose en proposer une (elle a sûrement déjà été présentée — mais les seules que j’ai trouvées, exemple dans Coxeter, s’appuient sur des calculs d’aires)

      .

      Un point P, intérieur au triangle ABC. Les droites (AP), (BP), (CP) coupent les côtés opposés aux sommets en D,E,F.

      Les produits des longueurs BF*AE*CD et AF*CE*BD sont égaux.

      .

      Depuis P, je trace des parallèles aux côtés du triangle : GH // BC, KL // AB, IJ // AC.

      On remarque les similitudes des triangles PLH et BAC, d’où on déduit PL/PH=AB/BC. De même, PGI et CBA sont semblables, d’où PG/PI=BC/AC. Enfin, PJK et ACB, qui donnent PJ/PK=AC/AB.

      Les produits de ces égalités conduisent à (PL*PG*PJ)/(PH*PI*PK)=(AB*BC*AC)/(BC*AC*AB)=1.

      .
      Maintenant, le parallélisme de IJ et AC, etc., permet d’écrire PJ/PI=CE/AE, PG/PH=BD/CD, PL/PK=AF/BF, soit
      (PJ*PG*PL)/(PI*PH*PK)=(CE*BD*AF)/(AE*CD*BF) =1

      .
      L’idée d’opérer sur P puis seulement ensuite de revenir sur les côtés du triangle est fortement inspirée de la démonstration qu’a exposée Reine pour le 4.9.1 — c’est donc à elle que revient le mérite de celle-ci !

      Document joint : idm4-9-15.jpg
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