Figure sans paroles #4.11.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.11.1

    le 24 octobre 2018 à 14:19, par Hébu

    Il existe une limite aux dialogues « sans parole », et je m’interroge sur la motivation profonde de ce problème. On a répondu à la question « pour le triangle où a=60°, alors IE=IF ». Mais était-ce l’unique but ?
    Une autre question pourrait être « que faut-il faire pour que IE=IF ? ».

    On pense bien sûr à « a=60° serait-il une condition nécessaire et suffisante ? ».

    .

    Et de ce point de vue les solutions précédentes ne sont qu’en partie équivalentes.

    .

    Si je prends la démonstration par « A, E, I, D cocycliques »., il est facile de voir qu’il y a équivalence entre « a=60° » et « A, E, I, D cocycliques ». Mais « IE=IF » n’implique pas la cocyclicité. On n’a donc pas une preuve de condition nécessaire et suffisante. On a juste « a=60° ==> IE=IF ».

    .

    A l’inverse, la preuve qui étudie les triangles IGE et IDF peut aisément se modifier. On voit que GEI=180°-(a+c/2), et IDF=180°-(c+b/2). Et une cns pour l’égalité de ces angles sera a=(b+c)/2, soit a=60°.

    On a donc la suite « a=60° » <==> « triangles IGE et IDF égaux » <==> « IE=IF ».

    .

    Ainsi, l’attaque de la figure via les triangles rectangles permet d’enrichir la démonstration, la transformant en une « condition nécessaire et suffisante ».

    Document joint : idm4-11-1-bis.jpg
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