Figure sans paroles #4.11.6

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 4.11.6

    le 27 novembre 2018 à 17:02, par Hébu

    J’ai longuement pensé à l’absence de « réciproque » pour le 4.11.6. Mais en fait, la figure diffère profondément de la précédente, malgré l’apparence. C’est qu’ici, seules deux bissectrices sont concernées.

    Pour le 4.11.5, la condition à vérifier implique les points D, E et F, c’est à dire chacune des bissectrices. Ici, BE n’intervient pas — ce qui donne plus de liberté à la figure.

    Je me suis dit alors qu’on devrait pouvoir « construire » le contre-exemple (DFC=30°, A quelconque), mieux que sur la figure que j’ai proposée hier soir.

    .


    Je me donne le point C et l’angle en C — sans choisir ni A ni B.
    Sur la bissectrice, je prends un point F et un angle CFD de 30°.

    Les données du problème sont les trois points C, F et D.

    Peut-on alors construire un triangle ABC répondant aux exigences du 4.11.6 ?

    Il « suffit » de trouver un point A qui convienne, c’est à dire un point de Cx tel que CAD=DAF (de sorte que AD soit la bissectrice)

    Le problème est de trouver un point A, qui soit sur Cx, et qui vérifie l’égalité des angles.

    Soit a la valeur qu’aura l’angle en A : CAD=DAF=a/2.

    Le point A tel que CAD=a/2 se déplace sur un cercle, centré sur la médiatrice de CD, le centre O tel que COD=a (angle au centre)

    De même il sera sur un cercle dont le centre O’ est sur la médiatrice de DF, avec DO’F=a.

    D’où la construction :

    • je trace les deux médiatrices.
    • Je choisis un point O sur la première ;
    • je prends le symétrique du segment DO par rapport à la bissectrice de FDC
    • ce symétrique coupe la médiatrice de FD au point O’ (les angles au centre seront égaux)
    • Je déplace O le long de la médiatrice de sorte que le point d’intersection des deux cercles soit situé sur Cx.
    • Ce point d’intersection est A — et l’angle en A .

    Il est sûrement possible de proposer une construction qui exhibe tout de suite le point A — évitant le tâtonnement de la dernière étape.

    Document joint : contreexemple_1.ggb
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