Figure sans paroles #5.2.10

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.2.10

    le 5 août 2019 à 16:29, par Hébu

    Dans le trapèze $ABCD$, on trace le cercle qui passe par $A, B, D$ : centre $J$, puis celui qui passe par $B, C, D$ : centre $K$. Soit $E$ le point de concours de $(AB)$ et $(CD)$ (côtés non pa rallèles).

    .
    Alors les deux angles $\widehat{JEA}$ et $\widehat{KED}$ sont égaux.

    .

    - Sur le cercle de centre $J$, $\widehat{BDA}=\widehat{BJA}/2$

    - Sur le cercle de centre $K$, $\widehat{CBD}=\widehat{CKD}/2$

    - Dans le trapèze, $\widehat{CBD}=\widehat{BDA}$

    Les angles $\widehat{CKD}$ et $\widehat{BJA}$ sont donc égaux, et donc aussi $\widehat{ABJ}, \widehat{BAJ}, \widehat{KCD}, \widehat{KDC}$

    D’où (ils sont supplémentaires) $\widehat{KCE}$ et $\widehat{JBE}$ égaux

    Les triangles $JAB$ et $KCD$ sont semblables de sorte que $JA/KD=R/r=AB/CD$
    (je note $R$ et $r$ les rayons)

    Les triangles $EBC$ et $EAD$ sont semblables : on en tire $EB/EC=R/r$.

    Les triangles $EBJ$ et $ECK$ sont semblables (angles en $B$ et $C$ égaux, côtés dans le rapport $R/r$).
    Leurs angles en $E$ sont donc égaux.

    Document joint : idm5-2-10.jpg
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