Figure sans paroles #5.4.16

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.4.16

    le 16 décembre 2019 à 18:52, par Hébu

    Un point $A$, deux demi-droites $(Ax)$ et $(Ay)$, et un cercle $(C_1)$ tangent à ces deux demi-droites (on note $B$ son centre).

    .
    Une troisième demi-droite $(Az)$ découpe deux secteurs dans l’angle $A$, et soient $C$ et $D$ les centres de deux cercles $(C_2)$ et $(C_3)$, tangents repectivement à $(Ax)$ et $(Az)$ et $(Ay)$ et $(Az)$.

    .
    Alors on peut trouver un point $Z$, d’où on peut tracer des tangentes, communes à $(C_1)$ et $(C_2)$, à $(C_2)$ et $(C_3)$, et à $(C_1)$ et $(C_3)$.

    .

    Soit $E$ l’intersection de $CD$ avec $(Az)$. Il est clair que « l’autre » tangente commune à $(C_2)$ et $(C_3)$ passe par $E$, $CD$ étant la bissectrice de l’angle entre les deux tangentes

    La configuration des tangentes autorise une ribambelle particulière :
    $ AJ = AI; AP = AN; AM = AL$

    soit $AP - AJ + AI - AL = AN - AI + AI - AM = MN$ ; autrement dit $JP + LI = MN$

    .
    De la même façon (supposons que la figure finale ait été obtenue, $OH + KQ = RS$

    Et évidemment $RS=MN$. Cela peut-il mener quelque part ?

    .
    D’autre part, la droite $(BD)$ coupe $(Ay)$ en un point $F$. S’il existe une tangente commune, elle passe en $F$, la droite $(BD)$ étant la bissectrice de l’angle en $F$.

    D’où la construction :

    • par le point $E$ (intersection de $CD$ et $(Az)$, mener une droite $(u)$ symétrique à $(Az)$ par rapport à $CD$.
    • tracer $BD$ qui coupe $(Ay)$ en $F$, puis tracer une droite $(v)$ symétrique de $(Ay)$ — c’est à dire que $FB$ est bissectrice de $(Ay, Fv)$.
    • L’intersection de $(u)$ et $(v)$ donne le point $Z$

    .

    Document joint : idm5-4-16.jpg
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