Figure sans paroles #5.5.1

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.5.1

    le 6 janvier 2020 à 13:16, par Sidonie

    Je démontre un résultat intermédiaire :

    Deux droites sécantes en X coupent deux droites sécantes en Y en formant un quadrilatère ABCD inscriptible. d et d’ sont les bissectrices intérieures issues de X et Y (il fut déjà démontré que d et d’ sont perpendiculaires mais cela ne sert à rien ici). Deux autres droites passant par Y recoupent les droites passant par X en formant le quadrilatère EFGH.

    Résultat : EFGH est inscriptible si et seulement si (EH) et (FG) sont symétriques par rapport à d’.

    Preuve :
    Dans le triangle DHY on a $\widehat {ADC}$ = $\widehat {DHY}$ + $\widehat {HYD}$ = $\widehat {EHG}$ + $\widehat {HYD}$
    Dans le triangle BFY on a $\widehat {EFG}$ = $\widehat {FBC}$ + $\widehat {BYF}$
    Donc $\widehat {EFG}$ + $\widehat {EHG}$ = $\widehat {ABC}$ + $\widehat {ADC}$ + $\widehat {BYF}$ - $\widehat {HYD}$ = $\pi$ + $\widehat {BYF}$ - $\widehat {HYD}$

    si (EH) et (FG) sont symétriques par rapport à d’ alors $\widehat {BYF}$ = $\widehat {HYD}$ et $\widehat {EFG}$ + $\widehat {EHG}$ =$\pi$ et EFGH est inscriptible
    Si EFGH est inscriptible alors $\widehat {EFG}$ + $\widehat {EHG}$ =$\pi$ et $\widehat {BYF}$ = $\widehat {HYD}$ donc (EH) et (FG) sont symétriques par rapport à d’

    Il suffit de reprendre ce résultat plusieurs fois en jouant sur X et Y pour arriver au résultat (et à la construction de la figure)

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