Figure sans paroles #5.5.3

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.5.3

    le 20 janvier 2020 à 11:54, par Sidonie

    ABCD est un quadrilatère inscriptible dans un cercle de centre O. X est un point tel que $\widehat {XAD}$=$\widehat {BAC}$ et $\widehat {XCD}$=$\widehat {ACB}$. Il semblerait que XC=XD.

    X est l’intersection entre les symétriques de (AC) par rapport aux bissectrices intérieures de $\widehat {BAD}$ et $\widehat {BCD}$. Soit E et F les points d’intersection de ces bissectrices avec le cercle circonscrit.
    Dans un triangle le point d’intersection entre une bissectrice intérieure et le cercle circonscrit appartient à la médiatrice du côté opposé. En appliquant aux triangles BAD et BCD on (EF) médiatrice de ([BD] et donc aussi diamètre du cercle.

    G et H sont les symétriques de C et A par rapport à (EF). les arcs CE et EG d’une part et AF et FH d’autre part sont égaux donc (AE) et (CF) sont les bissectrices de $\widehat {CAG}$ et $\widehat {ACH}$ . X est alors l’intersection entre (AG) et (CH) droites symétriques par rapport à (EF) avec leur intersection X appartenant nécessairement à (EF) médiatrice de [BD].

    Document joint : fsp_5.5.3.jpg
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