Figure sans paroles #5.6.2

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

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  • 5.6.2

    le 25 mars 2020 à 17:02, par Hébu

    Oh lala, la honte ! Pour réparer au plus vite :

    .
    L’angle $\widehat{CFB}$ admet $FE$ comme bissectrice : en effet, dans le cercle $CAEF$, $\widehat{EFC}=\widehat{BAC}$. Dans le cercle $BDFE$, $\widehat{EFB}=\widehat{BDC}$. Et dans le cercle $ABCD$, $\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$.

    De sorte que $\widehat{CFB}=2\times \widehat{CAB} = \widehat{COB}$ (angle au centre). On peut donc exhiber un quatrième cercle, passant par $C, B, F, O$.

    .
    La droite $(EF)$ coupe ce cercle en un point $M$, et puisque $EF$ est la bissectrice, les arcs $CM$ et $MB$ sont égaux. $M$ est donc sur la médiatrice de $BC$. C’est aussi évidemment le cas de $O$ : $OM$ est la médiatrice de $BC$, et est donc un diamètre du cercle $CBFO$. Et donc $\widehat{MFO}$ est droit.

    .
    Et voilà ! Le point $G$ a disparu... Il figurait, parce que dans ma tentative initiale je faisais apparaître le quadrilatère complet.

    .
    Et j’avoue être passé, inconscient, sur cette difficulté...

    Il faut réfléchir à le réintroduire, en montrant l’alignement de $E,F$ et $G$. Une affaire d’<< angle chasing >>, comme disent les anglo-saxons ?

    Document joint : idm5-6-2modifie.jpg
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