Figure sans paroles #5.6.11

Chaque lundi, IdM vous propose une image-théorème-puzzle extraite du livre de
Arseniy Akopyan : Geometry in Figures, 2011.

Cette figure est délibérément sans texte explicatif, ni énoncé.

A vous de l’observer, la comprendre, de vous poser les questions qu’elle suggère et, si possible, les résoudre !

Nous vous invitons à déposer vos questions ou votre solution dans les commentaires
et à voir ici d’autres figures sans paroles.

Commentaire sur l'article

  • 5.6.11

    le 29 mai à 12:32, par Hébu

    Deux droites issues d’un point $A$ coupent un cercle $c$, l’une en $B, C$, l’autre en $D,E$. Les diagonales $BE$ et $CD$ du quadrilatère $BCED$ se coupent en $F$. On note $M$ le milieu de $AF$.

    Deux cercles, l’un passant par $A, D, F$, l’autre par $A, E, F$, recoupent le cercle $c$ en $G$, et $H$.

    .
    Les points $M, B, G$ d’une part et $M, H, C$ de l’autre, sont alignés.

    Je ne sais pas par quel bout prendre ça. En fait, on peut alléger la figure, en supprimant un des cercles le point d’intersection correspondant. C’est à dire que la propriété devrait pouvoir se prouver dès qu’on a tracé le cercle A,D,F, le point G et la droite GB, par exemple

    Est-ce que cela simplifie le problème ? Pas réellement...

    Document joint : idm5-6-11-0.jpg
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    • 5.6.11

      le 29 mai à 23:46, par Sidonie

      Je me suis perdue dans des variations intéressantes mais sans résultats pour m’apercevoir que tout est simple.

      Dans le cercle BCD on a (DE,DC) = (BE,BC) qui devient (DA,DF) = (BF,BA).
      H est le symétrique de D par rapport à M donc (DF)//(HA) et (DA,DF) = (HF,HA) mais aussi (HD,HA) = (DH,DC)
      (BF,BA) = (HF,HA) donc H est un point du cercle ABF. Il vient (HA,HG) = (BA,BG) = (BC,BG) = (DC,DG)
      (HD,HG) = (HD,HA) + (HA,HG) = (DH,DC) + (DC,DG) = (DH,DG) donc (HG)//(DG) et donc confondues

      Document joint : fsp_5.6.11.jpg
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      • 5.6.11

        le 30 mai à 09:33, par Hébu

        Joliment dit — « tout est simple » !

        Effectivement, c’est simple. On ajoute habituellement « mais il fallait y penser ». Très joli argument, bravo !

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